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采药背包问题

时间: 2025-04-22 19:01:24 浏览: 31

### 采药背包问题算法实现 #### 状态定义在处理采药背包问题时，状态通常被定义为 `dp[i][j]` 表示前 `i` 种草药，在总重量不超过 `j` 的情况下可以获得的最大价值。这里 `i` 是草药品种索引，`j` 则表示当前考虑的背包容积。为了简化空间复杂度，可以采用一维数组来代替二维数组进行迭代更新[^1]。 #### 初始化初始化阶段设置当没有任何草药可选时的状态，即 `dp[j]=0` 对于所有的 `j∈[0,C]` 成立；其中 `C` 代表背包的最大承重能力。 #### 状态转移方程对于每一个新的草药种类 `i` 和其对应的体积 `c_i` 及价值 `w_i` ，遍历可能放入背包内的剩余容量 `j` （从大到小），并计算是否应该加入该草药： \[ dp[j] = max(dp[j], dp[j-c_i]+w_i)\] 此过程确保每次只针对新增加的一种草药做决策，并且通过逆序访问保证同一轮内不会重复利用已选取过的草药实例[^4]。 #### Python代码实现下面给出基于上述分析的一个简单Python版本实现: ```python def knapsack(weights, values, capacity): n = len(values) # 创建一个长度为capacity+1的一维列表用于存储子问题的结果 dp = [0]*(capacity + 1) for i in range(n): # 遍历所有物品 for j in range(capacity, weights[i]-1, -1): dp[j] = max(dp[j], dp[j-weights[i]] + values[i]) return dp[-1] if __name__ == "__main__": # 测试样例数据输入 weight_list = [2, 3, 4, 5] value_list = [3, 4, 5, 8] bag_capacity = 5 result = knapsack(weight_list, value_list, bag_capacity) print(f"The maximum total value is {result}") ``` 这段程序实现了经典的01背包问题解决方案，适用于描述中的采药场景，其中每个位置只能放置一次特定类型的草药。

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