一元四次方程求根算法java

一元四次方程的一般形式为 \(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)，其中 \(a\neq0\)。可以通过费拉里法来求解一元四次方程的根。以下是使用 Java 实现一元四次方程求根算法的代码示例： ```java import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class QuarticEquationSolver { // 求解一元四次方程 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 public static List<Complex> solveQuartic(double a, double b, double c, double d, double e) { List<Complex> roots = new ArrayList<>(); // 先将方程化为 x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s = 0 的形式 double p = b / a; double q = c / a; double r = d / a; double s = e / a; // 再通过换元法 x = y - p/4，将方程化为 y^4 + Ay^2 + By + C = 0 的形式 double A = q - 3 * p * p / 8; double B = r - p * q / 2 + p * p * p / 8; double C = s - p * r / 4 + p * p * q / 16 - 3 * p * p * p * p / 256; if (B == 0) { // 当 B = 0 时，方程变为 y^4 + Ay^2 + C = 0，这是一个关于 y^2 的二次方程 double[] quadraticRoots = solveQuadratic(1, A, C); for (double root : quadraticRoots) { if (root >= 0) { double sqrtRoot = Math.sqrt(root); roots.add(new Complex(sqrtRoot - p / 4, 0)); roots.add(new Complex(-sqrtRoot - p / 4, 0)); } else { double sqrtNegRoot = Math.sqrt(-root); roots.add(new Complex(-p / 4, sqrtNegRoot)); roots.add(new Complex(-p / 4, -sqrtNegRoot)); } } } else { // 一般情况，使用费拉里法 // 先求解一个辅助三次方程 double[] cubicRoots = solveCubic(8, 8 * A, 2 * A * A - 8 * C, -B * B); double z = cubicRoots[0]; double m = Math.sqrt(2 * z); double k = (A + z - B / m) / 2; double l = (A + z + B / m) / 2; double[] quadraticRoots1 = solveQuadratic(1, m, k); double[] quadraticRoots2 = solveQuadratic(1, -m, l); for (double root : quadraticRoots1) { roots.add(new Complex(root - p / 4, 0)); } for (double root : quadraticRoots2) { roots.add(new Complex(root - p / 4, 0)); } } return roots; } // 求解一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 public static double[] solveQuadratic(double a, double b, double c) { double discriminant = b * b - 4 * a * c; if (discriminant >= 0) { double sqrtDiscriminant = Math.sqrt(discriminant); double root1 = (-b + sqrtDiscriminant) / (2 * a); double root2 = (-b - sqrtDiscriminant) / (2 * a); return new double[]{root1, root2}; } else { return new double[]{}; } } // 求解一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 public static double[] solveCubic(double a, double b, double c, double d) { double[] roots = new double[3]; // 先将方程化为 x^3 + px^2 + qx + r = 0 的形式 double p = b / a; double q = c / a; double r = d / a; // 再通过换元法 x = y - p/3，将方程化为 y^3 + Ay + B = 0 的形式 double A = q - p * p / 3; double B = r - p * q / 3 + 2 * p * p * p / 27; double Q = (3 * A - p * p) / 9; double R = (9 * p * q - 27 * r - 2 * p * p * p) / 54; double D = Q * Q * Q + R * R; if (D > 0) { double S = Math.cbrt(R + Math.sqrt(D)); double T = Math.cbrt(R - Math.sqrt(D)); roots[0] = S + T - p / 3; roots[1] = roots[2] = Double.NaN; } else if (D == 0) { double S = Math.cbrt(R); roots[0] = 2 * S - p / 3; roots[1] = roots[2] = -S - p / 3; } else { double theta = Math.acos(R / Math.sqrt(-Q * Q * Q)); roots[0] = 2 * Math.sqrt(-Q) * Math.cos(theta / 3) - p / 3; roots[1] = 2 * Math.sqrt(-Q) * Math.cos((theta + 2 * Math.PI) / 3) - p / 3; roots[2] = 2 * Math.sqrt(-Q) * Math.cos((theta + 4 * Math.PI) / 3) - p / 3; } return roots; } // 复数类 static class Complex { double real; double imag; public Complex(double real, double imag) { this.real = real; this.imag = imag; } @Override public String toString() { if (imag == 0) { return String.valueOf(real); } else if (imag > 0) { return real + " + " + imag + "i"; } else { return real + " - " + (-imag) + "i"; } } } public static void main(String[] args) { double a = 1; double b = -2; double c = -3; double d = 4; double e = -5; List<Complex> roots = solveQuartic(a, b, c, d, e); for (Complex root : roots) { System.out.println("Root: " + root); } } } ``` ### 代码说明： 1. **`solveQuartic` 方法**：用于求解一元四次方程 \(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)，通过一系列变换和辅助方程的求解，最终得到方程的根。 2. **`solveQuadratic` 方法**：用于求解一元二次方程 \(ax^{2}+bx + c = 0\)，根据判别式的值返回方程的根。 3. **`solveCubic` 方法**：用于求解一元三次方程 \(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)，同样通过变换和判别式的计算得到方程的根。 4. **`Complex` 类**：用于表示复数，方便处理可能出现的复数根。 ### 复杂度分析： - **时间复杂度**：主要由求解三次方程和二次方程的操作决定，时间复杂度为 \(O(1)\)。 - **空间复杂度**：主要用于存储方程的根，空间复杂度为 \(O(1)\)。 ### 注意事项： - 该算法可能会受到浮点数精度的影响，对于某些特殊的方程，可能会得到不准确的结果。 - 代码中使用了复数类来处理可能出现的复数根，但在实际应用中，可能需要根据具体需求进行调整。