习题6-3 使用函数输出指定范围内的完数 分数 20 作者 陈建海 单位 浙江大学 本题要求实现一个计算整数因子和的简单函数，并利用其实现另一个函数，输出两正整数m和n（0<m≤n≤10000）之间的所有完数。所谓完数就是该数恰好等于除自身外的因子之和。例如：6=1 2 3，其中1、2、3为6的因子。 函数接口定义： int factorsum( int number ); void PrintPN( int m, int n ); 其中函数factorsum须返回int number的因子和；函数PrintPN要逐行输出给定范围[m, n]内每个完数的因子累加形式的分解式，每个完数占一行，格式为“完数 = 因子1 因子2 ... 因子k”，其中完数和因子均按递增顺序给出。如果给定区间内没有完数，则输出一行“No perfect number”。 裁判测试程序样例：

<think>我们有两个函数需要实现：factorsum和PrintPN。1.factorsum(intnumber):计算并返回number的因子和（不包括自身）。2.PrintPN(intm,intn):输出在区间[m,n]内的所有完数的因子分解式，如果没有完数则输出"Noperfectnumber"。完数定义：一个数等于它的所有因子（不包括自身）之和，例如6=1+2+3。根据引用[5]提供的代码，我们可以参考其思路，但需要注意以下几点：-factorsum函数：遍历从1到number-1，将能整除number的数累加，返回累加和。-PrintPN函数：a.遍历区间[m,n]中的每一个数。b.对每个数，用factorsum函数判断是否为完数。c.如果是完数，则再次获取该数的所有因子（为了输出分解式），并按格式输出。d.注意：输出格式为“完数=因子1+因子2+...+因子k”，因子按递增顺序。e.需要记录区间内是否有完数，如果没有则输出“Noperfectnumber”。但是，引用[5]的代码在PrintPN函数中重新计算因子并存入数组，这样虽然可以，但注意在输出格式上要严格按照样例（注意空格）。另外，注意裁判测试程序样例中，在调用PrintPN之前，会先判断m和n本身是否为完数并输出一行（例如输出“6isaperfectnumber”），但这部分已经在main函数中实现，我们只需要完成两个函数。我们重新实现这两个函数，并注意以下细节：-factorsum函数：注意效率，可以只遍历到number/2（因为大于number/2的因子只有number本身，但题目要求不包括自身，所以因子最大不超过number/2）。-但是，实际上因子可能包括大于number/2吗？例如，number=9，因子有1,3（没有大于9/2=4.5的因子，除了9本身）。所以我们可以循环到number/2即可，但要注意，这样不会漏掉因子吗？实际上，因子都是成对出现，一个小于等于sqrt(number)，一个大于等于sqrt(number)。但这里我们为了简单，可以遍历1到number-1，但这样效率较低。不过题目中完数本身很少（如6,28,496等），所以区间不会太大，可以接受。根据引用[4]的样例，输入样例1中，先输出“6isaperfectnumber”（这是main函数中判断m=6时输出的），然后PrintPN函数输出分解式。注意，在输出分解式时，完数6被再次输出，所以PrintPN函数中也会输出6的分解式。但是，注意输入样例1的输出：6isaperfectnumber6=1+2+328=1+2+4+7+14所以，PrintPN函数应该输出区间[m,n]内所有完数的分解式（包括m和n）。实现步骤：1.factorsum函数：intfactorsum(intnumber){if(number==1)return0;//1没有真因子（因子和0），不是完数intsum=0;for(inti=1;i<=number/2;i++){//优化：因子最大不超过number/2if(number%i==0){sum+=i;}}returnsum;}2.PrintPN函数：voidPrintPN(intm,intn){intflag=0;//标记区间内是否有完数for(inti=m;i<=n;i++){if(factorsum(i)==i){//是完数flag++;//输出完数分解式printf("%d=",i);//获取因子并输出if(i==1){//1没有真因子，但1不是完数（因为因子和为0），所以不会进入这里，但为了安全可以不管printf("1");}else{//对于大于1的数，重新获取因子for(intj=1;j<=i/2;j++){if(i%j==0){//第一个因子前面不加空格，但后面都加“+”，所以我们可以这样：除了第一个因子，其他因子输出前加空格和加号，但这样不好处理。//实际上，样例输出是：6=1+2+3//我们可以先输出第一个因子，然后后面的因子输出“+因子”//所以我们可以先输出第一个因子（1），然后从第二个因子开始输出“+%d”}}//更好的方法：先记录因子，然后按格式输出//但题目要求因子按递增顺序，我们遍历j从1到i/2就是递增的。//我们可以先不输出第一个因子，而是从第一个因子开始，每个因子输出“%d”，并在非最后一个因子后面加“+”//但是，我们不知道当前因子是不是最后一个，所以可以先收集因子，然后输出。//由于因子个数不会很多，我们可以先计算因子个数，或者边输出边计数（但需要知道总个数，或者我们最后输出时去掉最后一个加号？）//这里我们采用：先输出第一个因子（不包含加号），然后后面的因子输出“+%d”intcount=0;//记录因子的个数//先输出第一个因子1，但注意，1一定是第一个因子吗？是的，因为从1开始遍历。//所以我们可以：//先输出"1"//然后从2开始遍历，每遇到一个因子就输出"+%d"//但这样，我们需要跳过1，然后从2开始输出加号和因子。但是，如果只有因子1呢？那么就不需要输出加号。但完数至少有两个因子（6最小，有1,2,3）。//所以我们可以：printf("1");//第一个因子1for(intj=2;j<=i/2;j++){if(i%j==0){printf("+%d",j);}}}printf("\n");}}if(flag==0){printf("Noperfectnumber\n");}}但是，上面的PrintPN函数在输出因子时，我们假设了1一定是因子，并且从2开始遍历。这样是可行的，因为完数至少有两个因子（除了1，但1不是完数）。但是，我们这样写会漏掉因子1吗？不会，因为1已经单独输出。但是，我们考虑一下：如果一个完数只有因子1？实际上，因子1加上其他因子，但完数的定义是所有真因子之和等于自身。如果只有因子1，那么该数必须是1，但1的真因子只有0个（因为真因子不包括自身，1的真因子没有？实际上，1的真因子没有，因为1除以1等于1，但真因子通常不包括自身，所以1没有真因子，因子和为0，不等于1，所以1不是完数）。所以我们可以放心。然而，上面的输出方式在第一个因子1之后，从2开始遍历，这样会漏掉因子吗？不会，因为因子1已经输出，然后输出其他因子（从2开始到i/2）。但是，上面的方法没有考虑因子1是否一定存在？对于任何大于1的整数，因子1一定存在。所以安全。但是，我们也可以换一种方式：先收集所有因子，然后按顺序输出，这样可以避免格式错误。考虑到因子个数未知，我们可以用一个数组存储，然后循环输出。由于题目要求区间[m,n]内的每个完数都要输出，而完数很少，因子个数也不会很多，所以用数组存储是可行的。修改PrintPN函数（使用数组存储因子）：voidPrintPN(intm,intn){intflag=0;//标记是否有完数for(intnum=m;num<=n;num++){if(num==1)continue;//1不是完数，跳过if(factorsum(num)==num){flag=1;//收集因子intfactors[1000];//假设因子个数不超过1000intcount=0;for(inti=1;i<=num/2;i++){if(num%i==0){factors[count++]=i;}}//输出完数和因子printf("%d=",num);for(inti=0;i<count;i++){if(i==0){printf("%d",factors[i]);}else{printf("+%d",factors[i]);}}printf("\n");}}if(!flag){printf("Noperfectnumber\n");}}注意：输出格式要求“完数=因子1+因子2+...+因子k”，注意空格。我们这里输出在等号后面有一个空格，每个因子之间用“+”（注意加号前后都有空格）连接。但是，引用[5]的代码中，输出格式为：printf("%d=",m);//这里等号后面没有空格，但样例输出是等号后面有空格吗？看样例输出：6=1+2+3->等号后面有空格。所以我们应该输出：printf("%d=",num);另外，因子按递增顺序，我们的循环就是按递增顺序收集的，所以没问题。但是，注意裁判测试程序样例中，在调用PrintPN之前，已经判断了m和n是否为完数，并输出一行（例如“6isaperfectnumber”）。这个输出是在PrintPN函数之外，所以PrintPN函数只需要负责输出分解式，不需要输出“...isaperfectnumber”。因此，我们按照上述思路编写代码。但是，注意引用[5]的代码中，在PrintPN函数中，当没有完数时输出“Noperfectnumber”，注意样例输出是没有换行？实际上，样例输出是单独一行。所以输出后要加换行符。另外，考虑边界情况：例如m>n，但题目输入是m和n，假设m<=n，但裁判测试程序没有明确，所以我们按照m<=n处理（因为输入是scanf("%d%d",&m,&n)，通常认为m<=n）。但是，如果m>n，则循环不会执行，直接输出“Noperfectnumber”。但题目没有明确m和n的大小关系，所以为了安全，我们可以处理m>n的情况：if(m>n){printf("Noperfectnumber\n");return;}但是，裁判测试程序样例中，输入样例1：630，输入样例2：725，都是m<=n。所以我们可以按照m<=n来写循环，但若m>n，则循环不执行，然后判断flag为0，输出“Noperfectnumber”。所以不需要特别处理。因此，我们按上述方法实现。但是，引用[3]中提到：输出样例1中最后一行输出后就结束没有再换行。注意，我们每个完数的分解式后面都输出一个换行，包括最后一个分解式，然后如果没有完数，输出“Noperfectnumber”后面也换行。而样例输出中，分解式是每行一个，最后一行后面也有换行。所以符合要求。下面给出完整代码（仅两个函数）：</think>### 完数函数实现方法 完数（Perfect Number）是指一个正整数等于其所有真因子（不包括自身）之和的数，例如 $6 = 1 + 2 + 3$。下面根据要求实现 `factorsum` 和 `PrintPN` 函数： #### 1. **factorsum 函数** ```c int factorsum(int number) { if (number == 1) return 0; // 1 无真因子 int sum = 0; for (int i = 1; i <= number/2; i++) { // 优化：因子最大不超过 number/2 if (number % i == 0) { sum += i; } } return sum; } ``` **功能**：计算 `number` 的真因子和 **数学原理**： - 真因子满足 $i \mid number$ 且 $i < number$ - 遍历范围优化为 $[1, \lfloor number/2 \rfloor]$ #### 2. **PrintPN 函数** ```c void PrintPN(int m, int n) { int found = 0; // 标记是否找到完数 for (int num = m; num <= n; num++) { if (num == factorsum(num)) { // 判断完数 found = 1; printf("%d = ", num); // 收集并输出因子 int first = 1; // 标记首个因子 for (int i = 1; i <= num/2; i++) { if (num % i == 0) { if (first) { printf("%d", i); // 首个因子不加 "+" first = 0; } else { printf(" + %d", i); // 后续因子加 "+" } } } printf("\n"); // 当前完数结束 } } if (!found) { printf("No perfect number\n"); } } ``` **功能**：输出 $[m, n]$ 区间内的完数分解式 **关键逻辑**： 1. 遍历区间内每个数，用 `factorsum` 验证完数 2. **因子分解格式**： - 格式：`完数 = 因子1 + 因子2 + ... + 因子k` - 因子按递增顺序输出（遍历自然保证有序） - 首个因子前不加 `+`，后续因子前加 `+ `（含空格） 3. **无完数处理**：输出 `No perfect number` --- ### 测试样例分析 #### 输入样例 1：`6 30` ```text 6 is a perfect number // 主函数输出 6 = 1 + 2 + 3 // PrintPN 输出 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ``` #### 输入样例 2：`7 25` ```text No perfect number ``` --- ### 数学背景 完数有重要数学性质： - 欧几里得-欧拉定理：偶完数可表示为 $2^{p-1}(2^p-1)$，其中 $2^p-1$ 是梅森素数 - 已知完数均与梅森素数相关，如： - $6 = 2^1(2^2-1)$ - $28 = 2^2(2^3-1)$ --- ### 注意事项 1. **边界处理**： - $m > n$ 时循环自动跳过，输出 `No perfect number` - 数字 1 单独处理（无真因子） 2. **效率优化**： - 因子判断仅需遍历到 $\lfloor \sqrt{number} \rfloor$，但为简化代码此处用 $\lfloor number/2 \rfloor$ - 完数稀疏，实际性能可接受[^3][^5] 3. **格式严格性**： - 输出末尾无多余空格或换行 - 因子严格按升序排列 ---