pta求数组第二大数

### 计算n的阶乘在PTA平台上的实现方法 #### 方法一：基于循环结构的实现 通过简单的循环可以完成非负整数 \( N \) 的阶乘计算。以下是 C++ 实现的一个例子： ```cpp #include <iostream> using namespace std; int Factorial(const int N) { if (N == 0 || N == 1) return 1; int result = 1; for (int i = 2; i <= N; ++i) { result *= i; } return result; } int main() { int N; cin >> N; cout << Factorial(N) << endl; return 0; } ``` 上述代码实现了 `Factorial` 函数来计算输入整数 \( N \) 的阶乘[^1]。 --- #### 方法二：递归方式实现 另一种常见的方法是利用递归来解决阶乘问题。下面是一个典型的递归实现： ```cpp #include <iostream> using namespace std; int Factorial(const int N) { if (N == 0 || N == 1) return 1; return N * Factorial(N - 1); } int main() { int N; cin >> N; cout << Factorial(N) << endl; return 0; } ``` 此代码同样完成了阶乘的功能，但采用了递归的方式[^3]。 需要注意的是，在实际应用中，如果 \( N \) 较大，则可能会遇到栈溢出的风险，因此对于较大的数值建议采用迭代而非递归的方法。 --- #### 大数处理方案 由于标准数据类型的范围有限（如C/C++中的 `int`, `long long`），当 \( N \geq 20 \) 时，普通的变量无法存储其结果。此时需借助数组或其他容器模拟高精度运算。以下是一种基于数组的大数阶乘解决方案： ```cpp #include <iostream> using namespace std; void BigFactorial(int N) { int num[100005] = {0}; num[0] = 1; // 初始化第一个位置为1 int digits = 1; // 当前数字的有效位数 for (int i = 2; i <= N; ++i) { int carry = 0; for (int j = 0; j < digits; ++j) { int temp = num[j] * i + carry; num[j] = temp % 10; carry = temp / 10; } while (carry != 0) { num[digits++] = carry % 10; carry /= 10; } } // 输出结果 for (int j = digits - 1; j >= 0; --j) { cout << num[j]; } cout << endl; } int main() { int N; cin >> N; BigFactorial(N); return 0; } ``` 这段程序能够有效应对非常大的阶乘值，并且不会因为超出数据类型限制而失败[^2]。 --- #### 测试与注意事项 测试阶段应考虑边界条件以及极端情况下的表现，比如最小值 \( N=0 \)，最大可接受范围内的情况等。此外还需注意时间复杂度和空间复杂度的要求，尤其是在涉及大数据量或者高性能需求的应用场景下。 ---

### 斐波那契数列递归实现及其优化 斐波那契数列是一个经典的算法问题，在许多编程练习平台上都有涉及。对于给定的 \( n \)，计算斐波那契数列第 \( n \) 项的任务可以通过多种方式完成，其中一种常见的方式就是使用递归来解决这个问题。 #### 基本递归实现 基本的递归实现遵循斐波那契数列的定义： \[ F(n) = \begin{cases} 0 & \text{if } n = 0 \\ 1 & \text{if } n = 1 \\ F(n-1) + F(n-2) & \text{otherwise} \end{cases} \] 下面是一段简单的 C 语言代码来展示如何通过递归计算斐波那契数列中的某一项[^4]： ```c #include <stdio.h> int fibonacci(int n){ if (n == 0) return 0; else if (n == 1 || n == 2) return 1; else return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); } int main(){ int n; scanf("%d", &n); printf("%d\n", fibonacci(n)); return 0; } ``` 这段程序能够正确地处理输入并给出相应的输出结果。然而，当面对较大的数值时，这种纯递归的方法效率很低，因为它会重复计算相同的子问题多次。 #### 递归加记忆化技术 为了提高性能，可以在递归的基础上加入记忆化的技巧——即存储已经计算过的结果以便后续调用时可以直接读取而不是重新计算。这可以大大减少不必要的运算次数。 下面是改进后的版本，它利用数组 `memo` 来保存之前得到过的值[^3]： ```c #include <stdio.h> #define MAX_N 40 long long memo[MAX_N]; // 初始化备忘录 void init_memo() { for (int i = 0; i < MAX_N; ++i) { memo[i] = -1; } } long long fibo_with_memoization(int n){ if (n <= 1) { return n; } // 如果已经有记录，则直接返回 if(memo[n]!=-1){ return memo[n]; } // 否则先算出来再存进去 memo[n]=fibo_with_memoization(n-1)+fibo_with_memoization(n-2); return memo[n]; } int main(){ init_memo(); int n; scanf("%d",&n); printf("%lld\n",fibo_with_memoization(n)); return 0; } ``` 此方法显著提高了大数情况下求解的速度，并且保持了原生递归逻辑上的清晰度。