题目描述 可怜的Bessie在位于Slobbovia边界的便利店工作。Slobbovians使用不同于美国的货币;他们的硬币值逐日变化！ 帮助Bessie为Slobbovian购物者做出最佳的方案。您将需要使用各种值的N（1 <= N <= 10）个硬币创建C（1 <= C <= 1000）分。所有测试用例将使用所提供的硬币进行解决。 如果价值50，25，10，5和1的五个硬币可用，Bessie将通过使用1 x50,1 x 25,1 x 10，1 x 5和3 x1来实现93美分的最佳方案（最小数量硬币，共7枚硬币）。 它有多难？最后两个测试用例将是具有挑战性的。 输入 第1行：两个用空格分开的正整数C和N 第2行~第N+1行：每行一个唯一的硬币分值 输出 1行：一个正整数，表示用最小的硬币数组成的C分 样例输入 Copy 93 5 25 50 10 1 5 样例输出 Copy 7 c++完全背包

<think>好的，我现在需要解决用户的问题，关于使用C++和动态规划中的完全背包问题来找到用不同面额硬币组合成指定金额的最小硬币数。首先，我得回忆一下动态规划的基本概念，特别是完全背包问题的处理方式。 完全背包问题与0-1背包的区别在于，每个物品可以无限次使用。在这个问题中，硬币的面额相当于物品，而金额就是背包的容量，所以每种硬币可以重复使用。用户需要的是最小硬币数，这让我想到动态规划中的状态转移方程应该关注如何用最少的硬币数来达到每个金额。 首先，我需要确定动态规划数组的定义。通常，dp[i]表示组成金额i所需的最少硬币数。然后初始化这个数组，因为金额0不需要任何硬币，所以dp[0] = 0。对于其他金额，初始时可以设为一个很大的值，比如INT_MAX，表示暂时无法达到。 接下来，状态转移方程是关键。对于每个金额j，如果当前硬币的面额是coin，那么如果j >= coin，就可以考虑是否使用这个硬币。状态转移可能是dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1)。这里需要注意，如果dp[j - coin]是无效的（即无法组成j - coin的金额），就不能进行转移，否则可能导致溢出或错误的结果。 然后，遍历顺序的问题。在完全背包中，物品（硬币）和背包容量（金额）的遍历顺序是怎样的？如果是求组合数，通常外层遍历物品，内层遍历容量，这样避免重复组合。但这里求的是最小硬币数，顺序可能不影响结果，不过为了正确性，可能需要调整顺序。比如，先遍历硬币，然后遍历金额从coin到目标金额，这样每次更新dp[j]时都能考虑到当前硬币的使用情况。 还需要处理边界情况，例如，当目标金额为0时，直接返回0；如果没有任何硬币可选或者金额为负数，返回-1之类的错误值。另外，在代码实现时，要注意数组的初始化，以及如何判断是否有解。例如，最后如果dp[amount]仍然是初始化的那个大值，说明无法组成，返回-1。 举个例子，假设硬币面额是1,2,5，金额是11。按照算法，dp[0]=0，其他初始化为INF。遍历每个硬币：首先coin=1，然后对于j从1到11，dp[j] = min(dp[j], dp[j-1]+1)。这样每个金额j都可以由j-1加上一个1元硬币构成。然后coin=2，j从2开始，更新dp[j]为当前值和dp[j-2]+1中的较小者。同样处理coin=5。最终dp[11]应该是3（5+5+1或者5+2*3等）。 可能的错误点包括：忘记初始化dp[0]为0，或者初始化其他金额为不合适的值，导致状态转移错误。还有循环的顺序是否正确，是否会导致某些硬币未被考虑。 现在，我需要把这些思路整理成代码。定义dp数组的大小为amount+1，初始化为一个较大的值，除了dp[0]。然后双层循环，外层是硬币，内层是金额从该硬币面额开始到amount。每次比较当前dp[j]和dp[j - coin] +1的大小，选择较小的。最后检查dp[amount]是否还是初始值，如果是的话返回-1，否则返回该值。 测试一下代码是否正确。比如用户给出的例子中，硬币是1,2,5，金额是11，正确结果应该是3。另一个测试用例，比如金额是3，硬币是2，那么无法组成，应返回-1。再比如金额是5，硬币是5，直接返回1。 最后，需要确认引用的文献是否支持这些步骤。例如，引用[5]提到的是求最少货币数量，应该就是类似的问题，所以代码结构可以参考这一点。同时，完全背包的处理方式在引用[2]和[4]中也有涉及，尤其是外层循环物品，内层循环背包容量，这符合完全背包的解法。</think>### 动态规划解决最小硬币数问题 使用动态规划解决“用不同面额硬币组合成指定金额的最小硬币数”问题，属于**完全背包问题**的变种。以下是具体步骤和代码实现： --- #### **1. 定义状态** 设$dp[i]$表示组成金额$i$所需的最小硬币数。 --- #### **2. 初始化状态** - $dp[0] = 0$，因为金额0不需要任何硬币。 - 其他金额初始化为极大值（如`INT_MAX`），表示暂时无法达到： $$dp[i] = \infty \quad (1 \le i \le \text{amount})$$ --- #### **3. 状态转移方程** 对每枚硬币面额$coin$，遍历金额$j$（从$coin$到目标金额），更新状态： $$dp[j] = \min(dp[j], dp[j - coin] + 1)$$ --- #### **4. 遍历顺序** 外层遍历硬币，内层遍历金额（正向遍历），确保硬币可重复使用。 --- #### **5. 代码实现** ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <climits> using namespace std; int coinChangeMinCoins(vector<int>& coins, int amount) { vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX); dp[0] = 0; for (int coin : coins) { for (int j = coin; j <= amount; j++) { if (dp[j - coin] != INT_MAX) { // 确保dp[j - coin]有效 dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1); } } } return dp[amount] == INT_MAX ? -1 : dp[amount]; } int main() { vector<int> coins = {1, 2, 5}; int amount = 11; int result = coinChangeMinCoins(coins, amount); cout << "最小硬币数: " << result << endl; // 输出3（5+5+1） return 0; } ``` --- #### **6. 关键点分析** - **完全背包特性**：硬币可重复使用，因此内层循环正向遍历[^2]。 - **边界条件**：若结果仍为`INT_MAX`，说明无法组成目标金额，返回`-1`[^5]。 - **时间复杂度**：$O(\text{amount} \times \text{coins.size()})$。 --- #### **示例验证** - 输入：`coins = [1,2,5], amount = 11` - 计算过程： - $dp[5] = 1$（直接使用5元硬币） - $dp[11] = dp[6] + 1 = (dp[1] + 1) + 1 = 3$（路径：5+5+1） - 输出：`3`。 ---