倍增法求最近公共祖先
时间: 2025-06-22 09:39:16 AIGC 浏览: 29
### 使用倍增法求解最近公共祖先 (LCA) 的算法实现与解释
#### 算法概述
倍增法是一种高效的动态规划技术，适用于处理静态树结构中的查询问题。该方法通过预先计算并存储每个节点的第 \(2^i\) 层祖先来加速后续查询过程。
#### 数据预处理阶段
为了能够快速定位任意两点间的最近公共祖先，在初始化时需构建辅助数组 `f` 和记录各顶点深度的数组 `depth` 。其中 `f[u][j]` 表示从节点 u 出发经过 \(2^j\) 步所能到达的父亲节点位置；当 j=0 时表示直接父亲节点的位置。
```cpp
void dfs(int node, int parent){
depth[node]=depth[parent]+1;
f[node][0]=parent; // 初始化每一点的第一层祖先为自己真正的父节点
for(int i = 1 ;(1<<i)<=depth[node];++i)
f[node][i]=f[f[node][i-1]][i-1];
for(auto child : adj[node])
if(child!=parent)
dfs(child,node);
}
```
上述代码片段实现了自底向上的遍历操作，并完成了对 `f[][]` 数组以及 `depth[]` 数组的填充工作[^1]。
#### 查询函数设计
在完成数据准备之后就可以编写具体的询问逻辑了：
1. **调整两结点至相同高度**
如果两个待查节点不在同一层次，则先让较深的那个往上跳若干步直至两者处于平行状态为止；
2. **同步上升寻找共同祖先**
接着利用之前建立起来的信息表不断尝试使二者同时沿路径返回根部方向移动，直到它们首次交汇于某处即为目标答案所在之处。
3. **特殊情况判断**
若其中一个目标本身就是另一个的目标之一则无需执行第二步流程可直接给出结论。
下面是完整的 C++ 版本实现方式:
```cpp
int lca_query(int a,int b){
if(depth[a]<depth[b]) swap(a,b); // 让a成为更深的一个点
for(int k=logn;k>=0;--k){ // 将a提升到b的高度
if((depth[a]-depth[b])&(1<<k))
a=f[a][k];
}
if(a==b)return a;
for(int k=logn;k>=0;--k){
if(f[a][k]!=f[b][k]){
a=f[a][k];
b=f[b][k];
}
}
return f[a][0];
}
```
此段程序展示了如何基于前期准备工作高效地获取指定节点之间的最低公共祖先关系[^4]。
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3. **GitHub认证集成：** 样板包含了GitHub认证，这是非常实用的功能，因为它允许用户使用他们的GitHub账户来登录应用程序，从而简化了用户认证过程。
4. **Free Code Camp（FCC）：** Free Code Camp是一个提供免费编码课程的非营利组织，旨在教授学生在真实的项目中使用Web开发技术。FCC项目包括一系列从基础到高级的编程挑战，参与者通过完成这些挑战来学习和提高编程技能。
### 描述知识点解析
#### 此项目不再积极维护
描述中提到项目已不再积极维护，这意味着项目的主要开发工作已经停止，不再添加新功能或进行重大更新。尽管如此，该项目的存档版本仍然可以供学习者或需要稳定版本的用户使用。
#### Clementine.js FCC 样板概述
- **样板透明性和简单性：** 描述中提到样板在透明度和简单性方面做得很好，这表示项目的设计意图让用户能够轻松理解和使用样板中包含的各个组件。
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### 标签知识点解析
#### JavaScript
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### 压缩包子文件的文件名称列表知识点解析
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综上所述，Clementine.js样板为全栈JavaScript开发提供了一个轻量级的起点，使用了流行的MEAN堆栈技术，并且针对Free Code Camp课程进行了定制。这个样板的FCC版本适用于学生完成课程项目，因为它的设计和功能都特别考虑到了教学目的。尽管项目已不再积极维护，但用户仍然可以使用存档版本。对于正在学习全栈JavaScript开发的个人，特别是正在参与Free Code Camp课程的学习者，这个样板仍是一个有价值的资源。
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```python
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#### 标题知识点
1. **REST Web 服务**: REST（Representational State Transfer）是一种软件架构风格，它定义了一组约束条件和原则，用于设计网络中的分布式系统，尤其是Web服务。RESTful Web服务是以REST原则为基础开发的服务，广泛用于Web应用中，以实现客户端和服务器之间的无状态通信。
2. **Shiro**: Apache Shiro是一个开源的安全框架，提供认证、授权、加密和会话管理功能。Shiro的设计目标是易于使用并理解，同时提供一个直观且易于维护的API。它旨在用来保护应用程序的安全，无论应用程序的大小如何，可以简单到一个独立的Java应用程序，也可以复杂到大型的Web和企业应用程序。
3. **无国籍**: 在此上下文中，"无国籍"可能是一个翻译或输入错误，它应该是指“无状态”（stateless），意味着系统中各个组件不保持任何状态信息。在Web服务中，无状态通常意味着服务器不会在请求之间保留任何客户端的状态信息，这样可以提高系统的可扩展性和可靠性。
#### 描述知识点
1. **项目构建**: 项目中使用 Maven 作为构建工具，`mvn clean package` 命令用于清理之前的构建，打包项目。`spring-boot:run` 是Spring Boot Maven插件提供的目标，用于运行Spring Boot应用。
2. **初始化测试用户**: 描述中提到的 `curl` 命令用于向服务器发送HTTP请求。`-X PUT` 是指定HTTP方法为PUT的参数，用于初始化测试用户。这表明服务提供了一个API端点用于添加或更新资源。
3. **获取用户列表**: 使用 `curl` 命令获取用户列表，显示了如何使用HTTP GET方法从服务端请求数据。
4. **返回401未授权**: 返回的HTTP状态码为401，表明用户未被授权访问所请求的资源。这说明Shiro的安全框架已经介入，要求客户端提供有效的认证信息。
5. **登录操作**: 描述中未提供完整的登录命令，但暗示了一个需要使用 `curl` 命令和相应的HTTP头进行登录的操作，登录成功后才能访问受保护的资源。
#### 标签知识点
1. **Java**: 标签表示该服务是使用Java语言开发的。Java是一种广泛使用的通用编程语言，它以其“一次编写，到处运行”的特性而闻名，特别适合企业级应用和Web服务。
#### 压缩包子文件的文件名称列表知识点
1. **stateless-shiro-master**: 这是项目压缩包的名称，表明该文件包含了无状态Shiro框架的完整项目文件。"master"通常表示这是项目的主分支或主版本。
### 综合知识点
Shiro框架在本项目中的应用是为了提供一个无状态的REST Web服务安全解决方案。无状态的设计使得服务易于扩展和维护，Shiro在其中扮演的角色包括但不限于：
- **认证**: 确定用户身份，通常涉及到用户名和密码的匹配过程。
- **授权**: 确定用户是否有权限进行特定的操作或访问特定的资源。
- **会话管理**: 在无状态设计中，Shiro的会话管理意味着跟踪用户认证后的交互，尽管它不保存服务器端的状态。
通过Maven构建和Spring Boot运行的项目，说明开发者采用了现代Java开发的流行工具和技术。使用 `curl` 进行测试说明了如何通过HTTP客户端与REST服务进行交互。返回的401未授权状态码揭示了Shiro框架对安全控制的介入，并要求客户端开发者在实现登录逻辑时，必须处理好认证和授权的过程。
总结来看，该文件描述了一个基于Shiro进行认证和授权的REST Web服务的创建、初始化和操作流程，涉及到项目构建、命令行操作和状态码解析等知识点。
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