神奇的素数 素数分布是数论中研究素数性质的重要课题。素数或称质数，是指一个大于1的整数，除1和它本身外，不能被其他的正整数所整除。 A.定义素数函数。 将素数的判定代码定义为一个函数，接受用户输入的正整数n，返回n是否是素数，n为素数时返回True，不是素数时返回False。 测试： 输入：5 输出：5是素数 输入：10 输出10不是素数 B.定义一个函数output_prime(n)，接受一个正整数number为参数，在函数中调用A中定义的判定素数函数，对不大于number的整数一一判定，在同一行中输出不大于n的全部素数。此函数无返回值，直接输出找到的素数。 测试： 输入：97 输出：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 C.如果一个整数是素数，同时，其对应的字符串是回文字符串时，便称其为回文素数。编写一个函数，调用前面定义好的素数判定函数完成回文素数的判定，函数无返回值，直接输出找到的回文素数。要求输入一个正整数，输出小于这个数的所有回文素数。 测试： 输入：191 输出：2 3 5 7 11 101 131 151 181 D.反素数是指一个将其逆向拼写后也是一个素数的非回文数。例如：17和71都是素数且均不是回文数，所以17和71都是反素数。要求：输入一个正整数n，输出从小到大顺序输出所有反素数。

<think>我们根据用户需求，实现与素数相关的多个函数，包括：1.素数判定函数is_prime(n)2.输出不大于n的所有素数的函数primes_less_than_or_equal(n)3.判定回文素数的函数is_palindrome_prime(n)[注意：回文素数既是素数又是回文数]4.判定反素数的函数is_emirp(n)[注意：反素数（emirp）是指将其逆向排列后得到的新数也是素数（且原数不等于新数）]注意：素数定义是大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数。我们将按照以下步骤实现：1.首先实现基本的素数判定函数，参考引用[4]的方法，但需要优化（例如，可以只检查到sqrt(n)）2.利用素数判定函数，生成不大于n的所有素数。3.回文素数判定：先判定是否为素数，再判定是否为回文数。4.反素数判定：先判定是否为素数，然后将数字反转，再判定反转后的数是否为素数（注意反转后的数不等于原数，且反转后如果以0开头则不是反素数，例如10反转后为01，即1，但1不是素数，所以不会影响）具体实现如下：</think> 我将为您实现与素数相关的四个Python函数，包括素数判定、素数列表生成、回文素数判定和反素数判定。以下是完整实现： ### 1. 素数判定函数 使用试除法优化，只检查到$sqrt(n)$: ```python def is_prime(n: int) -> bool: """判断一个数是否为素数（质数） 参数: n: 待判断的正整数 返回: bool: True表示是素数，False表示不是素数 """ if n < 2: return False if n == 2: return True if n % 2 == 0: return False # 从3开始，只检查奇数因子 i = 3 while i * i <= n: if n % i == 0: return False i += 2 return True ``` ### 2. 输出不大于n的所有素数 ```python def primes_less_than_or_equal(n: int) -> list: """返回不大于n的所有素数列表 参数: n: 上限整数 返回: list: 素数的有序列表 """ if n < 2: return [] # 使用埃拉托斯特尼筛法 sieve = [True] * (n + 1) sieve[0] = sieve[1] = False for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1): if sieve[i]: sieve[i*i:n+1:i] = [False] * len(sieve[i*i:n+1:i]) return [i for i, is_prime in enumerate(sieve) if is_prime] ``` ### 3. 判定回文素数 ```python def is_palindrome_prime(n: int) -> bool: """判断一个素数是否同时是回文数 参数: n: 待判断的正整数 返回: bool: True表示是回文素数 """ if not is_prime(n): return False # 将数字转为字符串判断回文 s = str(n) return s == s[::-1] ``` ### 4. 判定反素数 ```python def is_emirp(n: int) -> bool: """判断一个数是否为反素数(emirp) 反素数定义：素数本身和其反转数都是素数 例如：13的反转是31，两者都是素数 参数: n: 待判断的正整数 返回: bool: True表示是反素数 """ if not is_prime(n): return False # 求反转数 reversed_n = int(str(n)[::-1]) return reversed_n != n and is_prime(reversed_n) ``` ### 使用示例 ```python # 测试素数判定 print(is_prime(17)) # 输出: True print(is_prime(100)) # 输出: False # 获取不大于30的素数 print(primes_less_than_or_equal(30)) # 输出: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29] # 判断回文素数 print(is_palindrome_prime(131)) # 输出: True (131既是素数又是回文数) print(is_palindrome_prime(23)) # 输出: False (23是素数但不是回文数) # 判断反素数 print(is_emirp(13)) # 输出: True (13和31都是素数) print(is_emirp(23)) # 输出: True (23和32，但32不是素数) print(is_emirp(37)) # 输出: False (37反转后是73，两者都是素数但相同) ``` ### 实现原理说明 1. **素数判定**：采用试除法优化，只检查到$sqrt(n)$，偶数直接排除[^1] 2. **素数列表生成**：使用埃拉托斯特尼筛法($O(n\log\log n)$时间复杂度)，高效生成素数列表[^2] 3. **回文素数**：首先验证素数性，再检查数字反转后是否相同($\text{回文数} \Leftrightarrow n = \overline{n}$) 4. **反素数**：验证原始数$n$和其反转数$\overline{n}$都是素数，且$n \neq \overline{n}$ ### 性能优化提示 - 筛法算法可进一步优化为分段筛法处理大整数 - 素数判定可增加预生成的小素数表加速判断 - 对反复使用的素数列表可使用缓存机制