7-1 计算矩阵连乘问题最优解的动态规划算法分数 25 全屏浏览 切换布局 作者 陈越 单位 浙江大学 矩阵连乘问题是这样定义的：给定 n 个矩阵 M1​、M2​、⋯、Mn​，要求计算矩阵连乘积 Πi=1n​Mi​。其中，Mi​ 有 ri​ 行及 ci​ 列 (i=1,⋯,n)，并且满足矩阵连乘的合法性要求，即 ci​=ri+1​（i=1,⋯,n−1）。由于矩阵的乘法运算满足结合律，所以可以有多种计算的顺序。要求找出最优的相乘顺序，使得所用的乘法次数最少。 本题就请你实现解决这个问题的动态规划算法。当然，你也可以尝试其它算法，并与动态规划算法的运行效率进行比较。 输入格式： 输入首先在第一行中给出正整数 n（≤500）。随后一行给出 n+1 个正整数，依次为矩阵的行数 ri​（i=1,⋯,n）以及最后一个矩阵的列数 cn​。 输出格式： 在一行中按结合律输出最优的相乘顺序，格式如样例所示，即乘号用英文字母 x 表示，乘号两边子问题的解写在一对括号 ()中。随后第二行输出最少的乘法次数。题目保证答案不超出整型 int 范围。 注意：对于没有乘号的子问题，请直接输出矩阵，不加括号。 输入样例： 4 1 2 5 1 100 输出样例： ((M1)x((M2)x(M3)))x(M4) 112 代码长度限制 16 KB 时间限制 400 ms 内存限制 64 MB 栈限制 8192 KB

<think>好的，我现在需要解决用户关于矩阵连乘问题的动态规划算法实现的问题。首先，我得回顾一下用户提供的引用内容，确保理解正确。 根据引用[1]，矩阵相乘的次数是m*n*p，所以如何组合矩阵的顺序会影响总的计算量。动态规划的目标就是找到最优的结合顺序，使得乘法次数最少。引用[3]中的例子说明不同的加括号方式会导致计算量差异很大，比如7500次和75000次，这突显了问题的重要性。 用户需要的是动态规划算法的实现代码，以及如何得到最优相乘顺序和最少乘法次数。我需要先理清楚动态规划解决这个问题的步骤。根据引用[4]，动态规划的关键是将问题分解为子问题，即计算A[i:j]的最优解时，需要考察不同的k值，将矩阵链分成两部分，然后计算这三部分的代价之和。 首先，我需要确定如何构建动态规划表格。通常，我们会用一个二维数组m来保存最小乘法次数，另一个二维数组s来记录分割点k的位置，以便最后构造最优解的顺序。 接下来，初始化数组。当i=j时，只有一个矩阵，乘法次数为0。然后按照链长递增的方式，从链长为2开始逐步计算到链长为n的情况。 对于每个链长l，遍历所有可能的起点i，计算对应的j=i+l-1。然后对于每个i和j，遍历k从i到j-1，计算当前分割点的代价，并更新最小值和分割点。 代码方面，需要处理输入矩阵的维度数组p，其中p[i-1]和p[i]分别表示第i个矩阵的行数和列数。例如，矩阵A1的维度是p[0]×p[1]，A2是p[1]×p[2]，以此类推。 然后，如何根据s数组重建最优解的括号方式？这需要递归或迭代的方法，从s[1][n]开始，逐步分解左右两部分，直到单个矩阵为止。 测试用例方面，可以使用用户提到的例子：三个矩阵，维度分别是10×100，100×5，5×50。预期的最优乘法次数是7500，对应的加括号方式是(A1*A2)*A3。 在编写代码时，需要注意数组的索引是否正确，尤其是Python中列表从0开始，而矩阵可能从1开始编号。需要保持一致，避免越界错误。 此外，还要考虑时间复杂度和空间复杂度。动态规划的时间复杂度是O(n^3)，空间复杂度是O(n^2)，这在n不太大的情况下是可以接受的。 用户可能还关心如何优化代码，或者处理更大的矩阵链，但根据问题描述，当前的重点是实现基本算法。所以，先完成核心的动态规划部分，再处理最优解的构造。 最后，要确保代码中的注释和示例足够清晰，方便用户理解和使用。可能还需要解释各个参数的含义，比如p数组的结构，以及输出结果的解读。</think>### 矩阵连乘问题动态规划算法详解 #### 一、算法实现步骤 1. **输入矩阵维度数组**：$p=[p_0,p_1,...,p_n]$，其中第$i$个矩阵维度为$p_{i-1} \times p_i$[^3] 2. **定义二维数组**： - $m[i][j]$表示计算$A_iA_{i+1}...A_j$所需最小乘法次数 - $s[i][j]$记录分割点$k$的位置 3. **初始化边界条件**：当$i=j$时$m[i][j]=0$ 4. **递推计算**：按链长$l$从2到n递增，计算所有可能区间$[i,j]$的最小值： $$m[i][j] = \min_{i \leq k < j} (m[i][k] + m[k+1][j] + p_{i-1}p_kp_j)$$[^4] #### 二、Python代码实现 ```python def matrix_chain_order(p): n = len(p) - 1 # 矩阵个数 m = [[0]* (n+1) for _ in range(n+1)] s = [[0]* (n+1) for _ in range(n+1)] for l in range(2, n+1): # 链长 for i in range(1, n-l+2): j = i + l - 1 m[i][j] = float('inf') for k in range(i, j): q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j] if q < m[i][j]: m[i][j] = q s[i][j] = k return m, s def print_optimal_parens(s, i, j): if i == j: print(f"A{i}", end="") else: print("(", end="") print_optimal_parens(s, i, s[i][j]) print_optimal_parens(s, s[i][j]+1, j) print(")", end="") # 示例测试（引用[3]案例） p = [10, 100, 5, 50] m, s = matrix_chain_order(p) print("最少乘法次数:", m[1][len(p)-1]) # 输出7500 print("最优计算次序:", end=" ") print_optimal_parens(s, 1, 3) # 输出((A1A2)A3) ``` #### 三、代码解析 1. **时间复杂度**：$O(n^3)$，三重循环结构 2. **空间复杂度**：$O(n^2)$，二维数组存储中间结果 3. **关键变量**： - `p`数组存储矩阵维度序列 - `m[i][j]`记录子问题最优解 - `s[i][j]`记录分割点位置 #### 四、算法优势 通过动态规划保存子问题解，避免重复计算。对于n个矩阵的问题，时间复杂度从暴力法的$O(2^n)$优化到$O(n^3)$[^2]