8.按要求生成矩阵并进行相关运算. (1)生成5阶魔方矩阵并求其特征分解. (2)生成8阶哈达玛矩阵并求其LU分解. (3)利用6阶魔方矩阵的前3行，6阶帕斯卡矩阵的第2、3行拼接成的5x 6阶矩阵， 求其奇异值分解. (4)计算5阶希尔伯特矩阵每列的向量p-范数(p= 1, 2, inf, -inf) . (5)生成7阶三对角矩阵，使其对角线的元素为其所在行数的相反数，对角线下方的元 素为对应希尔伯特矩阵元素，对角线下方元素为相应魔方矩阵元素，计算该矩阵的p-范数(p = 1，2，inf)

(1) 5阶魔方矩阵的生成和特征分解： 魔方矩阵是一个$n \times n$的矩阵，其中的元素从$1$到$n^2$排列，使得每一行、每一列和两条对角线上的元素和都相等。以下是5阶魔方矩阵的一个例子： $$ \begin{bmatrix} 17 & 24 & 1 & 8 & 15 \\ 23 & 5 & 7 & 14 & 16 \\ 4 & 6 & 13 & 20 & 22 \\ 10 & 12 & 19 & 21 & 3 \\ 11 & 18 & 25 & 2 & 9 \end{bmatrix} $$ 我们可以使用Python中的numpy库生成魔方矩阵，并使用numpy.linalg库中的eig函数进行特征分解： ```python import numpy as np # 生成5阶魔方矩阵 n = 5 magic_square = np.zeros((n,n)) i = n//2 j = n-1 num = 1 while num <= n**2: magic_square[i,j] = num num += 1 new_i, new_j = (i-1) % n, (j+1) % n if magic_square[new_i, new_j]: i += 1 else: i, j = new_i, new_j # 特征分解 eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(magic_square) ``` (2) 8阶哈达玛矩阵的生成和LU分解： 哈达玛矩阵是一个$n \times n$的矩阵，其中的元素只能是$1$或$-1$，且满足$HH^T=nI$，其中$I$是$n \times n$的单位矩阵。以下是8阶哈达玛矩阵的一个例子： $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} $$ 我们可以使用Python中的scipy库生成哈达玛矩阵，并使用scipy.linalg库中的lu函数进行LU分解： ```python from scipy.linalg import hadamard, lu # 生成8阶哈达玛矩阵 n = 8 hadamard_matrix = hadamard(n) # LU分解 P, L, U = lu(hadamard_matrix) ``` (3) 5x6矩阵的生成和奇异值分解： 我们可以使用Python中的numpy库生成5x6矩阵，并使用numpy.linalg库中的svd函数进行奇异值分解。以下是该矩阵的一个例子： $$ \begin{bmatrix} 17 & 24 & 1 & 8 & 15 & 1 \\ 23 & 5 & 7 & 14 & 16 & 1 \\ 4 & 6 & 13 & 20 & 22 & 1 \\ \end{bmatrix} $$ ```python # 生成5x6矩阵 m = np.array([[17, 24, 1, 8, 15, 1], [23, 5, 7, 14, 16, 1], [4, 6, 13, 20, 22, 1]]) # 奇异值分解 U, s, V = np.linalg.svd(m) ``` (4) 5阶希尔伯特矩阵每列的向量p-范数(p=1,2,inf,-inf)的计算： 希尔伯特矩阵是一个$n \times n$的矩阵，其中的元素为$H_{i,j}=\frac{1}{i+j-1}$。以下是5阶希尔伯特矩阵的一个例子： $$ \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{bmatrix} $$ 我们可以使用Python中的numpy库生成希尔伯特矩阵，并使用numpy.linalg.norm函数计算每列的向量p-范数： ```python # 生成5阶希尔伯特矩阵 n = 5 hilbert_matrix = np.zeros((n,n)) for i in range(n): for j in range(n): hilbert_matrix[i,j] = 1 / (i+j+1) # 计算每列的向量p-范数 for p in [1, 2, np.inf, -np.inf]: norms = np.linalg.norm(hilbert_matrix, ord=p, axis=0) print("p-norms with p={}: {}".format(p, norms)) ``` (5) 7阶三对角矩阵的生成和p-范数的计算： 我们可以使用Python中的numpy库生成7阶三对角矩阵，并使用numpy.linalg.norm函数计算其p-范数。以下是该矩阵的一个例子： $$ \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{7} \end{bmatrix} $$ ```python # 生成7阶三对角矩阵 n = 7 tridiagonal_matrix = np.zeros((n,n)) for i in range(n): tridiagonal_matrix[i,i] = -i if i < n-1: tridiagonal_matrix[i,i+1] = 1/(i+1) tridiagonal_matrix[i+1,i] = 1/(i+1) # 计算p-范数 for p in [1, 2, np.inf]: norm = np.linalg.norm(tridiagonal_matrix, ord=p) print("p-norm with p={}: {}".format(p, norm)) ```