滚动数组法01背包问题

滚动数组法是常见的优化动态规划空间复杂度的方法之一，适用于状态转移方程只与前一层状态有关的问题。对于 01 背包问题，可以使用滚动数组法来降低空间复杂度。具体来说，对于一维的动态规划数组，我们可以将其视为一个长度为 n 的数组，然后用一个长度为 2 的滚动数组 dp 来代替。每次更新 dp 数组时，只需要用对应的值更新 dp[(i-1)%2][j] 和 dp[i%2][j] 两个位置即可。这样就可以实现只保留前一层状态的目的，从而将空间复杂度降低到 O(2w)。以下是使用滚动数组法解决 01 背包问题的示例代码： ```python def knapsack(W, wt, val): n = len(wt) dp = [[0]*(W+1) for _ in range(2)] for i in range(n): for j in range(W+1): if j >= wt[i]: dp[i%2][j] = max(dp[(i-1)%2][j-wt[i]] + val[i], dp[(i-1)%2][j]) else: dp[i%2][j] = dp[(i-1)%2][j] return dp[(n-1)%2][W] ``` 其中，W 表示背包的容量，wt 和 val 分别表示物品的重量和价值，n 表示物品的数量。

01背包问题Java蛮力法

01背包问题是一个经典的动态规划问题，在Java中，蛮力法（也称为暴力搜索）通常用于描述当物品的数量非常多，以至于枚举所有可能的组合变得可行时的情况。在这种情况下，我们会遍历所有可能的物品选择，包括是否选取每个物品，以及每次选择会带来的收益。以下是Java中使用蛮力法解决01背包问题的一个简单示例： ```java public class Knapsack { public static int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) { // 创建一个二维数组来存储每个状态的价值 int[][] K = new int[n + 1][W + 1]; // 遍历物品 for (int i = 0; i <= n; i++) { // 如果没有物品或者背包容量为0，则价值为0 for (int w = 0; w <= W; w++) { if (i == 0 || w == 0) K[i][w] = 0; else if (wt[i - 1] <= w) // 如果当前物品重量小于等于背包剩余容量，可以选择它 K[i][w] = Math.max(val[i - 1] + K[i - 1][w - wt[i - 1]], K[i - 1][w]); else // 否则只能考虑不选当前物品的情况 K[i][w] = K[i - 1][w]; } } return K[n][W]; } // 主函数测试 public static void main(String args[]) { int val[] = {60, 100, 120}; // 物品价值 int wt[] = {10, 20, 30}; // 物品重量 int W = 50; // 背包容量 int n = val.length; System.out.println("最大总价值: " + knapSack(W, wt, val, n)); } } ``` 在这个例子中，`knapSack`函数通过两层嵌套循环计算出所有可能情况下的最优解。注意，由于其时间复杂度为O(n*W)，对于大规模数据，这种方法效率较低，实际应用中通常采用更高效的动态规划算法，如动态规划表或滚动数组优化。

完善以下代码 #include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #define MAXN 10 //最多物品数 #define MAXW 100 //最大限制重量 using namespace std; //问题表示 int n , W; //n:物品数量, W:背包限制重量 int w[MAXN]; //每种物品的重量 int v[MAXN]; //每种物品的价值 int Knap() { //动态规划法_滚动数组求0/1背包问题 int dp[MAXW + 1]; memset(dp, 0, sizeof(dp)); for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int r = ; ; ) { dp[r] = max(dp[r], ); } } return ; } int main() { cin >> n >> W; for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i] >> v[i]; cout << Knap() << endl; return 0; }

完善后的代码如下： ``` #include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #define MAXN 10 //最多物品数 #define MAXW 100 //最大限制重量 using namespace std; //问题表示 int n , W; //n:物品数量, W:背包限制重量 int w[MAXN]; //每种物品的重量 int v[MAXN]; //每种物品的价值 int Knap() { //动态规划法_滚动数组求0/1背包问题 int dp[MAXW + 1]; memset(dp, 0, sizeof(dp)); for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int r = W; r >= w[i]; r--) { dp[r] = max(dp[r], dp[r - w[i]] + v[i]); } } return dp[W]; } int main() { cin >> n >> W; for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i] >> v[i]; cout << Knap() << endl; return 0; } ``` 在第二个for循环中，r的初始值应该为W，每次循环减少物品的重量w[i]，直到r小于w[i]为止。在每次循环中，更新dp[r]的值，dp[r]表示当前限制重量为r时可以获得的最大价值。更新dp[r]的方式为：如果不选第i个物品，则dp[r]不变；如果选第i个物品，则dp[r]更新为dp[r-w[i]]+v[i]，其中dp[r-w[i]]表示限制重量为r-w[i]时可以获得的最大价值，v[i]表示第i个物品的价值。最后返回dp[W]，即限制重量为W时可以获得的最大价值。

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滚动数组法01背包问题

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