下图是一个装备系统的合成图谱，箭头指向的是合成之后的装备，每合成一个装备需要消耗一些金币（标注在矩形框里面），箭头上的数字表示合成所需的材料数量。比如，要合成n个装备A，需要消耗3n个装备B、1n个装备C、4n个装备D，而且还需要消耗26n金币（装备B和装备D的合成与此类似）。 为了简单起见，下面题目的装备图谱都是一棵多叉树，而且玩家最初只拥有指定数量的叶子节点的装备，也就是图中的装备C、装备E、装备F和装备G。 注意，下面的图谱只是一个例子，作答的时候不要局限于这个图谱。 在这里插入图片描述 已知玩家拥有一些初级装备（叶子节点的装备）和n个金币，并且所有装备的合成都需要消耗金币，玩家需要合成尽可能多的某个装备（记为装备X），请用python语言计算出玩家最多可以合成出多少个装备X。

<think>根据用户的问题，我们需要解决的是一个在装备合成图谱和资源限制下的优化问题。用户希望计算在给定装备合成图谱（即装备之间的合成关系）和叶子节点（初级装备）的初始资源，以及金币限制下，玩家最多能合成的特定装备X的最大数量。 ### 问题分析 1. **装备合成图谱**：这是一个有向无环图（DAG），其中节点表示装备，边表示合成关系。叶子节点（没有入边的节点）是初级装备，可以直接使用。非叶子节点（合成装备）需要通过合成获得。 2. **合成规则**：每个合成装备有多个合成路径（配方），每个路径规定了合成该装备所需的材料（其他装备）以及消耗的金币。 3. **资源限制**：给定叶子节点的初始数量，以及金币总量。 4. **目标**：最大化特定装备X的合成数量。 ### 解决方案思路 这是一个资源分配问题，可以使用动态规划（DP）或带约束的优化方法。但考虑到合成图谱可能是一个复杂的DAG，且合成路径可能有多个，我们需要构建一个从叶子节点向上计算的动态规划。 #### 关键步骤 1. **构建合成图谱**：解析输入，构建一个有向图，记录每个装备的合成路径（即该装备可以由哪些材料装备合成，以及每个路径消耗的金币和材料数量）。 2. **拓扑排序**：由于合成依赖关系，我们需要按照拓扑顺序计算每个装备的最大合成数量，确保在计算一个装备之前，其所需的所有材料装备都已经计算完毕。 3. **动态规划状态定义**：设`dp[node]`表示在满足资源限制的情况下，装备`node`最多能合成的数量。 4. **状态转移**： - 对于叶子节点（初级装备），其数量是已知的（初始资源），因此`dp[leaf] = initial[leaf]`。 - 对于非叶子节点，其合成数量受两个因素限制： a. 合成路径所需的各种材料装备的数量限制（即`dp[child] // amount`，其中`amount`是合成一个父节点所需该子节点的数量）。 b. 合成路径消耗的金币限制（即金币总量除以合成一个该装备所需金币）。 因此，对于每个合成路径，该装备的最大合成数量为： $$ \text{min}\left( \min_{\text{child} \in \text{children}} \left( \frac{\text{dp}[\text{child}]}{\text{amount}_{\text{child}}} \right), \frac{\text{剩余金币}}{\text{金币消耗}} \right) $$ 注意：一个装备可能有多个合成路径，我们需要选择其中一个路径（通常选择使得合成数量最大的路径，或者问题可能要求所有路径都可用，但这里需要明确）。根据问题描述，通常每个装备可能有多个配方，我们可以选择任意一个配方来合成，因此我们需要考虑所有配方，并取最大值。 5. **金币消耗的处理**：在动态规划过程中，我们还需要考虑金币的消耗。但是，由于金币是全局资源，不同装备的合成都会消耗金币，因此我们需要一个全局的金币约束。这增加了问题的难度，因为装备之间共享金币资源。 #### 难点：全局金币约束 由于金币是全局共享的，我们无法在独立计算每个装备的最大数量时完全考虑金币约束（因为不同装备合成会竞争金币）。因此，我们需要将金币约束加入到动态规划的状态中。 然而，如果装备数量多且金币数量大，状态空间会很大（可能超时）。因此，我们需要寻找更高效的算法。 #### 替代方法：二分搜索 我们可以通过二分搜索来求解装备X的最大数量。假设我们想检查是否能合成`k`个装备X，那么问题转化为：在金币和材料约束下，是否能够通过合成得到`k`个装备X？ 这个判定问题可以通过自顶向下的递归（记忆化搜索）或自底向上的动态规划（但需要处理金币约束）来解决。具体步骤： 1. 对于给定的`k`，从装备X开始，计算需要消耗的各个初级装备的数量以及总金币消耗。 2. 计算消耗的初级装备数量不能超过初始数量，总金币消耗不能超过初始金币。 但是，由于合成图谱可能有多个路径，且一个装备可能被多个父装备使用，所以我们需要计算整个图谱中每个装备的净需求量。这可以通过递归分解完成，直到叶子节点。 #### 具体算法（二分搜索+依赖分解） 1. 定义函数`required_materials(node, amount)`：计算为了合成`amount`个`node`装备，所需要的各个初级装备的数量以及总金币消耗。 2. 如果`node`是初级装备，那么直接返回该装备的需求量（以及合成它所需金币，但初级装备不需要合成，所以金币消耗为0？注意：初级装备可能不需要合成，但问题中叶子节点就是初级装备，不需要合成，所以消耗为0。但合成非叶子节点需要消耗金币）。 3. 对于非叶子节点，我们需要选择一个合成路径（配方），然后递归计算该路径下所需材料装备的需求量。但是，同一个装备可能有多个配方，我们需要选择成本最低（即消耗金币和材料最少）的配方？或者选择能够满足需求且总消耗最小的配方？这里，我们的目标是判断能否合成`amount`个，所以我们需要确保存在一个配方，其递归计算的材料需求不超过初始资源，且总金币不超过。 然而，由于多个配方可能同时存在，且一个装备可能通过多个配方合成，我们需要考虑每个配方的消耗，并选择总消耗最小的方式（这样在资源有限的情况下更可能满足）。因此，我们可以为每个装备定义一个函数，计算合成单位数量的该装备所需的最小初级装备消耗（以及金币消耗）。这可以通过将合成路径转化为线性规划？或者使用动态规划计算每个装备的“成本”？ ##### 计算最小成本 我们可以为每个装备计算两个值： - `min_cost[node]`：合成一个单位`node`的最小金币消耗（包括递归的所有合成路径） - `material_req[node]`：合成一个单位`node`所需要的各个初级装备的数量（向量） 但是，由于合成路径可能有多个，且可能共享子装备，我们需要将合成路径分解到初级装备。 另一种思路：将每个装备的合成表示为一个“配方”，配方由若干初级装备和金币消耗组成（通过递归展开）。然后，我们可以将问题转化为一个线性规划问题：在满足初级装备数量和金币总量的约束下，最大化装备X的数量。 但是，线性规划在DAG结构下可能比较复杂，且装备数量多时可能效率不高。 #### 实际可行的算法：自底向上动态规划（带金币全局约束的近似处理） 由于金币是全局的，我们很难在动态规划中精确处理。因此，我们考虑先忽略金币约束，计算每个装备的最大合成数量（只考虑材料约束），然后根据金币消耗调整。但这样可能不准确。 另一种方法是，将金币视为一种特殊的初级装备（即一种资源），然后加入到材料约束中。这样，我们可以将金币当作一种叶子节点，然后每个合成路径除了消耗材料装备外，还消耗一定数量的金币（即金币叶子节点）。这样，问题就转化为只有材料约束（包括金币这种特殊材料）的问题。 ##### 步骤 1. **扩展图谱**：将金币视为一种新的叶子节点（例如，命名为"gold"），并设定初始数量为给定的金币总量。 2. **修改合成路径**：对于每个合成装备的配方，增加对金币的消耗（即原来消耗金币，现在改为消耗一定数量的"gold"叶子节点）。 3. **问题转化**：现在问题变成了只有初级装备（包括"gold"）约束，求装备X的最大合成数量。这样我们就可以使用传统的动态规划方法（自底向上）来计算。 ##### 动态规划过程 - 叶子节点：包括原有的初级装备和"gold"，其数量已知。 - 非叶子节点：对于每个节点，计算其最大合成数量（受限于其所有子节点（材料）的供应量）。具体地，对于节点`v`，其每个合成路径（配方）`r`，计算该路径下能合成的最大数量： $$ \text{for recipe } r: \quad k_r = \min_{c \in \text{children in r}} \left( \frac{\text{dp}[c]}{\text{amount}_c} \right) $$ 然后取所有配方中的最大值（因为不同配方是独立的，我们可以选择任意配方，所以取最大值）： $$ \text{dp}[v] = \max_{r \in \text{recipes of } v} k_r $$ 注意：这里每个配方消耗的子节点数量是固定的，因此`k_r`表示如果使用配方`r`，最多可以合成多少个`v`（受限于最紧缺的子节点）。 但是，这里有一个问题：同一个子节点可能被多个父节点共享，而我们的动态规划在计算父节点时，会使用子节点的全部`dp[child]`，这可能导致资源被重复使用。因此，我们需要一个分配策略。 实际上，上述动态规划计算的是每个装备在独立情况下的最大产量（即不考虑其他装备的竞争），但实际中多个装备的合成会竞争相同的子节点资源。因此，我们需要按顺序计算，并且计算完一个装备后，需要扣除其消耗的资源？但这样又因为合成目标（装备X）可能需要中间装备，所以我们需要指定目标装备X，然后计算为了合成`k`个X，需要消耗多少初级装备。 因此，我们回到二分搜索+自顶向下分解的方法。 ### 算法选择：二分搜索 + 自顶向下需求分解 1. 二分搜索装备X的数量`k`（下界0，上界可以设为初始金币除以合成X所需金币，或者一个较大的值）。 2. 对于每个候选的`k`，计算合成`k`个装备X所需的总初级装备数量（包括各种初级装备）和总金币消耗。 3. 检查所需初级装备是否不超过初始数量，且总金币消耗不超过初始金币。 4. 如果满足，则增大`k`；否则减小`k`。 关键是如何计算合成`k`个装备X所需的总初级装备和金币消耗？ #### 需求分解函数 我们定义一个函数`get_requirements(node, amount)`，返回一个字典（表示每个初级装备的需求量）以及总金币消耗。注意，非叶子节点可能通过多个配方合成，我们需要选择最优（即总消耗最小）的配方？但是，这里我们只要求计算最小消耗（即能够合成`amount`个`node`的最小成本），这样在资源有限的情况下，我们总是选择成本最小的配方。 然而，最小成本的计算可能比较复杂，因为涉及多个配方和子装备。我们可以使用记忆化搜索（递归+缓存）来计算。 ##### 递归步骤 - 如果`node`是初级装备，那么合成`amount`个该装备，需要消耗`amount`个该装备（即从初始资源中取用），并且不需要合成（所以金币消耗为0）。注意：这里初级装备不需要合成，所以不会消耗金币？但是，在合成图谱中，初级装备是直接可用的，不需要合成。所以，我们只需要统计初级装备的数量，而合成非初级装备需要消耗金币。 - 如果`node`是非初级装备，那么我们需要选择一个配方（该装备的合成路径）来合成它。对于每个配方，计算合成`amount`个该装备所需的总材料（即对每个子节点递归调用`get_requirements(child, amount * child_amount)`，其中`child_amount`是该配方中一个父节点消耗的子节点数量），以及该配方的金币消耗（`amount * cost_per_node`）。 但是，同一个装备可能有多个配方，我们应该选择总消耗（包括递归消耗）最小的配方（这样总消耗最小，更容易满足约束）。 因此，对于非初级装备，我们遍历其所有配方，计算每个配方下的总初级装备需求和总金币消耗，然后取最小值（即合并所有配方的需求，取最小值）。 然而，注意：不同的配方可能使用不同的子装备，所以我们需要比较不同配方的总消耗（包括初级装备和金币），然后选择最小的。但是，初级装备有多种类型，如何比较？我们无法直接比较两个向量（初级装备需求向量）的大小，所以我们需要一个目标函数（比如总成本），但问题没有给出初级装备的成本。因此，我们只能根据约束条件（即初始资源）来判断一个配方是否可行，但我们的目标是最小化消耗（以便在资源有限的情况下合成尽可能多的X）。 实际上，在需求分解中，我们并不需要选择配方，而是需要计算最小消耗（即使用最优配方时的消耗）。但是，由于没有成本信息，我们只能选择使总金币消耗最小的配方（因为金币是共享的，且我们关注金币约束），或者使最紧缺的初级装备消耗最小的配方？这并不明确。 ##### 替代方案：固定配方 在问题中，每个非叶子节点可能有多个配方，但通常我们会选择其中一个配方来合成。然而，问题没有指定可以选择配方，所以我们需要考虑所有配方？实际上，玩家可以选择任意一个配方来合成。因此，在计算最小消耗时，我们应该选择总消耗（金币和材料）最小的配方。但是，由于材料有多种，我们无法直接比较，因此我们只能通过金币消耗来比较（因为金币是单一数值），即选择金币消耗最小的配方。 因此，我们假设玩家总是选择金币消耗最小的配方来合成装备。这样，在需求分解时，对于每个非叶子节点，我们选择其金币消耗最小的配方，然后递归计算。 步骤： 1. 构建图谱，记录每个装备的信息： - 如果是初级装备，则标记。 - 如果是合成装备，记录其所有配方（每个配方包含：所需材料（字典）和金币消耗）。 2. 对于每个合成装备，我们选择金币消耗最小的那个配方（如果有多个配方金币消耗相同，则任选一个；也可以考虑材料消耗，但问题没有给出材料成本，所以只考虑金币）。 3. 然后，从装备X开始，递归计算合成`amount`个X所需的初级装备和金币： - 如果装备X是初级装备，则需求为：该装备`amount`个，金币0。 - 否则，使用选定的配方（金币消耗最小的配方），然后对配方中的每个材料`m`，递归计算合成`amount * a_m`个`m`（其中`a_m`是合成一个X需要该材料`m`的数量），并将所有需求累加（注意：金币消耗也要累加，即`amount * cost_per_X`加上所有子材料合成所需金币）。 但是，这里有一个问题：同一个装备可能被多个上层装备依赖，但在这个递归中，我们只计算了当前装备的直接需求。由于我们选择的是最小金币消耗的配方，并且递归计算，所以可以计算出整个需求链。 然而，注意：同一个装备在多个地方被使用，但我们的递归分解会重复计算该装备的需求？不会，因为我们在分解时，对于每个装备，我们只计算其作为当前节点的一部分的需求，然后递归到其子节点。这样，每个装备的需求会被汇总到初级装备。 ##### 递归函数的实现 - 使用记忆化，避免重复计算（因为同一个装备可能被多次访问）。 - 返回：一个字典`materials_req`（初级装备名称->数量）和总金币消耗`gold_required`。 伪代码： ```python def get_requirements(node, amount, graph, memo): if (node, amount) in memo: return memo[(node, amount)] # 如果是初级装备 if graph[node]['type'] == 'leaf': # 返回该装备的需求和0金币 req = {node: amount} gold = 0 memo[(node, amount)] = (req, gold) return (req, gold) # 否则，选择金币消耗最小的配方 best_recipe = None min_cost_per_unit = float('inf') for recipe in graph[node]['recipes']: # recipe: {'materials': {child1: amount1, child2: amount2, ...}, 'gold': cost_per_unit} if recipe['gold'] < min_cost_per_unit: min_cost_per_unit = recipe['gold'] best_recipe = recipe # 初始化总需求字典和总金币 total_req = {} total_gold = amount * best_recipe['gold'] # 当前配方的金币消耗 # 遍历配方中的每个材料 for child, child_amount in best_recipe['materials'].items(): # 需要从child装备获取的数量 child_total = child_amount * amount # 递归计算child的需求 child_req, child_gold = get_requirements(child, child_total, graph, memo) total_gold += child_gold # 合并需求字典 for mat, count in child_req.items(): total_req[mat] = total_req.get(mat, 0) + count memo[(node, amount)] = (total_req, total_gold) return total_req, total_gold ``` 注意：这里假设每个装备的合成配方是独立的，并且我们选择了金币消耗最小的配方。这样，我们就得到了合成`amount`个装备X所需的总初级装备和总金币。 ##### 二分搜索 然后，我们对`k`（装备X的数量）进行二分搜索： - 左边界`low=0` - 右边界`high`：可以设为初始金币除以合成X的最小金币消耗（一个上界）或者一个较大的数（比如所有初级装备数量除以合成一个X所需最多的那种初级装备数量，再考虑金币约束，取最大值）。 对于每个`mid = (low+high)//2`，计算合成`mid`个X的需求，然后检查： - 对于每种初级装备`mat`，需求`req`不能超过初始数量`initial[mat]` - 总金币消耗`gold`不能超过初始金币`initial_gold` 如果满足，则`low = mid+1`；否则`high = mid-1`。 最后，`high`就是最大可合成数量（因为当循环结束时，`high`是满足条件的最大值）。 ### 代码实现 假设输入格式： - `initial_resources`：字典，叶子节点装备名称->初始数量，以及一个特殊的键`'gold'`表示初始金币。 - `graph`：字典，键为装备名称，值为该装备的信息（字典）。信息包括： - `'type'`：`'leaf'`（叶子节点）或`'composite'`（合成装备） - `'recipes'`：如果是合成装备，则包含一个配方列表。每个配方是一个字典：`{'materials': {子装备名: 数量}, 'gold': 金币消耗}`。注意：一个合成装备可以有多个配方。 特殊节点：金币节点我们已经在`initial_resources`中用`'gold'`表示，所以在图谱中不需要定义金币节点（因为金币消耗直接记录在配方中）。 注意：在递归分解时，我们只对非叶子节点进行配方选择，而叶子节点直接返回需求。 #### 实现细节 1. 记忆化：避免重复计算，提高效率。 2. 合并需求：在递归返回时，将子节点的需求字典合并到当前字典中。 #### 代码 ```python def get_requirements(node, amount, graph, memo): # 记忆化检查 if (node, amount) in memo: return memo[(node, amount)] # 如果该节点是叶子节点（初级装备）或金币节点（但我们不单独处理金币节点，因为金币消耗在配方中直接记录） # 注意：我们的图谱中，叶子节点是初级装备，而金币是单独的资源，不视为装备节点 # 因此，在graph中，叶子节点只有装备，没有金币节点。金币节点在配方中消耗。 # 所以，当遇到叶子节点时，我们返回该装备的需求 if node not in graph: # 如果node不在graph中，说明是金币？但金币节点不会出现在这里，因为配方中的材料都是装备 # 实际上，叶子节点应该在graph中，并标记为'leaf' # 所以这里不会发生 return {node: amount}, 0 node_info = graph[node] if node_info['type'] == 'leaf': # 叶子节点，不需要合成，返回需求 req_dict = {node: amount} gold_needed = 0 memo[(node, amount)] = (req_dict, gold_needed) return req_dict, gold_needed # 合成装备，选择金币消耗最小的配方 best_recipe = None min_gold_per_unit = float('inf') for recipe in node_info['recipes']: # 比较每个配方的金币消耗 if recipe['gold'] < min_gold_per_unit: min_gold_per_unit = recipe['gold'] best_recipe = recipe # 初始化总需求字典和总金币 total_req_dict = {} total_gold = amount * min_gold_per_unit # 遍历配方中的每个材料（子装备） for child, child_amount in best_recipe['materials'].items(): # 需要该子装备的总数量 child_total = child_amount * amount # 递归获取子装备的需求 child_req, child_gold = get_requirements(child, child_total, graph, memo) total_gold += child_gold # 合并需求字典 for mat, count in child_req.items(): total_req_dict[mat] = total_req_dict.get(mat, 0) + count memo[(node, amount)] = (total_req_dict, total_gold) return total_req_dict, total_gold def max_equipment_x(graph, initial_resources, target_equipment): # 初始金币 initial_gold = initial_resources.get('gold', 0) # 二分搜索的上下界 # 上界：可以取初始金币除以合成一个target_equipment的最小金币消耗（但不知道，所以取一个大的上界） # 或者取任意一个初级装备的初始数量除以合成一个target_equipment所需该装备的数量（取最小值）？但不知道哪个装备，所以取所有初级装备初始数量的最小值除以一个系数？这样不准确 # 简单起见，我们可以取一个较大的数，比如初始金币（假设合成一个X至少需要1金币）或者所有初级装备数量之和（除以合成一个X所需初级装备总数） # 但为了安全，我们可以取一个较大的数，比如10**9 low = 0 high = 10**9 # 如果初始金币为0，且目标装备需要合成（非初级），则只能为0 # 但注意：目标装备可能是初级装备 if target_equipment in initial_resources and graph.get(target_equipment, {}).get('type') == 'leaf': # 如果是初级装备，则最大数量就是初始数量 return initial_resources[target_equipment] # 二分搜索 result = 0 while low <= high: mid = (low + high) // 2 memo = {} # 计算合成mid个目标装备的需求 try: req_dict, total_gold = get_requirements(target_equipment, mid, graph, memo) except: # 如果出现异常（比如没有配方），则中断 high = mid - 1 continue # 检查初级装备需求是否满足 feasible = True # 注意：req_dict中的装备都是初级装备（叶子节点）和金币 # 但是，我们的初始资源包括初级装备和金币 # 检查金币 if total_gold > initial_gold: feasible = False else: # 检查每种初级装备 for mat, amount_needed in req_dict.items(): # 如果该装备在初始资源中不存在，或者数量不足 if mat not in initial_resources or initial_resources[mat] < amount_needed: feasible = False break if feasible: result = mid low = mid + 1 else: high = mid - 1 return result ``` ### 测试用例 假设一个简单的合成图谱： - 装备X：合成路径1：需要装备A 2个，装备B 1个，金币5。 - 装备A：合成路径1：需要初级装备P 3个，金币2；合成路径2：需要初级装备Q 1个，金币3（这里我们选择金币消耗最小的路径，即合成路径1）。 - 装备B：初级装备（叶子节点）。 初始资源： - 初级装备P: 100个 - 初级装备Q: 50个（但合成A我们选择路径1，所以Q不会被使用） - 装备B: 30个 - 金币: 200 计算最多能合成多少个X。 #### 手动计算 1. 合成一个X需要：A 2个，B 1个，金币5。 2. 合成一个A需要：P 3个，金币2（因为选择路径1）。 3. 所以合成一个X需要： - A: 2个 -> 需要P 6个，金币4（2*2） - B: 1个（初级装备，不需要合成，金币0） - 加上X本身合成消耗金币5 - 总金币：4+5=9 - 总P：6，总B：1 4. 因此，合成k个X需要： - P: 6k - B: k - 金币: 9k 5. 约束： - 6k <= 100 -> k<=16.66 - k <= 30 - 9k<=200 -> k<=22.22 - 所以k最大为16。 #### 测试代码 ```python # 构建图谱 graph = { 'A': { 'type': 'composite', 'recipes': [ {'materials': {'P': 3}, 'gold': 2}, {'materials': {'Q': 1}, 'gold': 3} ] }, 'B': { 'type': 'leaf' }, 'X': { 'type': 'composite', 'recipes': [ {'materials': {'A': 2, 'B': 1}, 'gold': 5} ] } } initial_resources = { 'P': 100, 'Q': 50, 'B': 30, 'gold': 200 } target = 'X' result = max_equipment_x(graph, initial_resources, target) print(f"最多可以合成装备 {target} 的数量为: {result}") # 预期16 ``` ### 注意事项 1. 该算法假设合成图谱是无环的（DAG），否则递归会无限循环。因此，在构建图谱时需要确保无环。 2. 记忆化缓存：在递归分解时，使用记忆化避免重复计算。 3. 二分搜索的上界：可以根据实际情况调整，比如取初始金币除以合成一个X所需的最小金币（但需要先计算最小金币消耗，这可以通过一次递归计算单位需求得到）。 4. 性能：二分搜索的复杂度为O(log(max_possible))，每次递归分解的复杂度取决于图谱的大小（节点和边）。由于记忆化，每个节点计算不同数量的需求会被缓存，但数量`amount`是变化的，所以记忆化键为`(node, amount)`。但`amount`在二分搜索中可能很大，但实际中`amount`是二分的值（即目标装备的数量），递归分解中`amount`会乘以系数传递到子节点，所以子节点的`amount`可能很大。这可能导致记忆化缓存键非常多，效率低下。 #### 优化记忆化 由于`amount`是线性传递的，我们可以将需求分解改为按单位需求计算（即合成一个单位装备的需求），然后乘以`k`。但是，注意：在合成路径中，如果存在多个配方，我们选择的是单位金币消耗最小的配方，这个配方是固定的，与`k`无关。因此，我们可以先计算合成一个单位目标装备的需求（初级装备和金币），然后乘以`k`就是总需求。 因此，我们可以修改`get_requirements`函数，只计算单位需求（即`amount=1`的情况），然后总需求就是单位需求乘以`k`。这样，记忆化只需要按节点缓存单位需求，大大减少状态。 ##### 单位需求计算 修改后的`get_unit_requirements(node, graph, memo)`： - 返回：一个字典（初级装备->单位数量）和单位金币消耗。 递归过程： - 叶子节点：返回该装备1单位（即{node:1}）和0金币。 - 合成装备：选择单位金币消耗最小的配方，然后累加配方中每个子装备的单位需求（乘以配方中该子装备的数量）和配方金币消耗。 注意：这里配方中每个子装备的数量，需要乘以子装备的单位需求（递归得到）。 伪代码： ```python def get_unit_requirements(node, graph, memo): if node in memo: # 按节点缓存 return memo[node] if node not in graph: # 不应该发生 return {node: 1}, 0 node_info = graph[node] if node_info['type'] == 'leaf': return {node: 1}, 0 # 选择单位金币消耗最小的配方 best_recipe = None min_gold = float('inf') for recipe in node_info['recipes']: if recipe['gold'] < min_gold: min_gold = recipe['gold'] best_recipe = recipe total_req = {} total_gold = min_gold # 当前配方的金币消耗 for child, amount in best_recipe['materials'].items(): child_req, child_gold = get_unit_requirements(child, graph, memo) total_gold += child_gold * amount # 注意：这里要乘以数量，因为一个父节点需要amount个子节点 for mat, count in child_req.items(): total_req[mat] = total_req.get(mat, 0) + count * amount memo[node] = (total_req, total_gold) return total_req, total_gold ``` 然后，在二分搜索中，对于给定的`k`，总需求就是单位需求乘以`k`（每个初级装备的数量乘以`k`，金币消耗乘以`k`）。 这样，我们只需要计算一次单位需求，然后二分搜索中每次检查都是O(1)（因为单位需求是固定的，乘以`k`即可）。 ##### 修改后的二分搜索 ```python def max_equipment_x_optimized(graph, initial_resources, target_equipment): # 计算单位需求 memo = {} try: unit_req, unit_gold = get_unit_requirements(target_equipment, graph, memo) except: # 如果目标装备是初级装备？ if target_equipment in initial_resources: return initial_resources[target_equipment] else: return 0 # 如果目标装备是初级装备，则get_unit_requirements会返回{target_equipment:1}，但注意：如果图谱中没有定义该装备（即叶子节点），则需要在graph中定义 # 或者，我们可以处理：如果target_equipment不在graph中，则视为初级装备 # 这里我们假设图谱中定义了所有装备（包括初级装备） # 二分搜索 low = 0 high = 10**9 result = 0 initial_gold = initial_resources.get('gold', 0) while low <= high: mid = (low + high) // 2 # 计算总需求 total_gold = unit_gold * mid feasible = True if total_gold > initial_gold: feasible = False else: for mat, count_per_unit in unit_req.items(): total_count = count_per_unit * mid if mat not in initial_resources or initial_resources[mat] < total_count: feasible = False break if feasible: result = mid low = mid + 1 else: high = mid - 1 return result ``` #### 测试用例（同上） 注意：在单位需求计算中，合成一个X需要： - 从X的配方：A:2, B:1, 金币5 - 合成A（选择配方1）：P:3, 金币2 - 所以合成一个X需要： - P: 2*3 = 6 - B: 1 - 金币: 5 + 2*2 = 9 # 注意：A需要2个，所以每个A消耗2金币，两个A消耗4金币，加上X的5金币，共9金币 然后，用初始资源检查。 ### 总结 我们使用单位需求计算和二分搜索，高效地解决了在装备合成图谱和资源限制下，最大化特定装备X的合成数量的问题。该算法适用于DAG结构的合成图谱，并考虑了多个合成路径的选择（总是选择单位金币消耗最小的路径）。 ### 扩展 1. **多级合成**：本算法天然支持多级合成（DAG）。 2. **成功概率**：如果合成有成功概率，那么问题将变为期望最大化，需要在需求分解中考虑期望消耗（即单位需求变为期望需求）。 3. **大规模数据**：二分搜索和单位需求计算使得算法高效，即使金币数量很大（10^9）也能快速求解。 4. **装备分解**：如果允许分解，则需要重新设计状态，考虑装备的回收，问题将更复杂。 §§相关问题§§ 1. 如果合成图谱中存在环（即循环合成）怎么办？ 2. 当合成路径有成功概率时，如何计算最大期望合成数量？ 3. 如何扩展算法以支持多个目标装备同时优化？ 4. 如果玩家可以在市场上买卖初级装备，如何整合市场机制？</think># 装备合成优化算法：最大化特定装备X的合成数量 我将使用Python解决装备合成图谱中的资源优化问题。根据问题描述，我们需要在给定的装备合成图谱、叶子节点初始资源和金币限制下，计算玩家最多能合成的特定装备X的最大数量。 ## 问题分析 ### 输入定义 1. **装备合成图谱**：一个有向无环图(DAG)，表示装备之间的合成关系 - 叶子节点：初级装备（初始资源） - 非叶子节点：合成装备（需要合成） 2. **合成配方**：每个合成装备有多个配方，每个配方包含： - 所需材料装备及其数量 - 消耗的金币数量 3. **初始资源**： - 叶子节点的初始数量 - 金币总量 4. **目标**：最大化特定装备X的合成数量 ### 数学建模 设： - $k$ 为装备X的合成数量 - $R_{mat}$ 为初级装备 $mat$ 的初始数量 - $G$ 为初始金币总量 - $C_X$ 为合成一个X的金币消耗 - $R_{mat}^X$ 为合成一个X所需的初级装备 $mat$ 的数量 约束条件： $$ \sum_{mat} R_{mat}^X \times k \leq R_{mat} \quad \forall mat \in \text{初级装备} $$ $$ C_X \times k \leq G $$ 目标函数： $$ \max k $$ ## 解决方案：单位需求计算 + 二分搜索 ### 算法步骤 1. **计算单位需求**：递归计算合成一个装备X所需的最小初级装备和金币 2. **二分搜索**：在可行范围内搜索最大k值 3. **资源检查**：验证给定k值是否满足资源约束 ### Python实现 ```python from collections import defaultdict def get_unit_requirements(equipment, graph): """ 计算合成一个单位装备的最小资源需求 参数: equipment: 目标装备名称 graph: 装备合成图谱 返回: (requirements, gold): 初级装备需求字典, 金币消耗 """ # 叶子节点（初级装备） if graph[equipment]['type'] == 'leaf': return {equipment: 1}, 0 # 选择金币消耗最小的配方 best_recipe = None min_gold_per_unit = float('inf') for recipe in graph[equipment]['recipes']: if recipe['gold'] < min_gold_per_unit: min_gold_per_unit = recipe['gold'] best_recipe = recipe # 初始化总需求 total_req = defaultdict(int) total_gold = min_gold_per_unit # 递归计算子装备需求 for child, amount in best_recipe['materials'].items(): child_req, child_gold = get_unit_requirements(child, graph) total_gold += child_gold * amount for mat, count in child_req.items(): total_req[mat] += count * amount return dict(total_req), total_gold def max_equipment_x(graph, initial_resources, target_equipment): """ 计算在资源限制下可合成的最大装备X数量 参数: graph: 装备合成图谱 initial_resources: 初始资源字典（包含初级装备和金币） target_equipment: 目标装备名称 返回: 最大可合成数量 """ # 处理目标装备是初级装备的情况 if target_equipment in initial_resources: return initial_resources[target_equipment] # 计算单位需求 try: unit_req, unit_gold = get_unit_requirements(target_equipment, graph) except KeyError: # 装备不存在于图谱中 return 0 # 二分搜索边界 low = 0 high = 10**9 # 足够大的上界 # 计算更精确的上界 for mat, count in unit_req.items(): if count > 0 and mat in initial_resources: mat_bound = initial_resources[mat] // count high = min(high, mat_bound) if unit_gold > 0 and 'gold' in initial_resources: gold_bound = initial_resources['gold'] // unit_gold high = min(high, gold_bound) # 二分搜索 result = 0 while low <= high: mid = (low + high) // 2 feasible = True # 检查初级装备约束 for mat, count_per_unit in unit_req.items(): required = count_per_unit * mid if mat not in initial_resources or initial_resources[mat] < required: feasible = False break # 检查金币约束 if feasible and 'gold' in initial_resources: gold_required = unit_gold * mid if initial_resources['gold'] < gold_required: feasible = False if feasible: result = mid low = mid + 1 else: high = mid - 1 return result ``` ### 算法复杂度分析 1. **单位需求计算**：$O(V+E)$，其中V是装备数量，E是合成关系边数 2. **二分搜索**：$O(\log(\min(\text{资源上界})))$ 3. **总体复杂度**：$O(V+E + \log N)$，其中N是最大可能合成数量 ## 测试用例 ```python # 测试用例1：简单线性合成 def test_linear_synthesis(): graph = { 'A': {'type': 'leaf'}, 'B': {'type': 'leaf'}, 'X': { 'type': 'composite', 'recipes': [ {'materials': {'A': 2, 'B': 1}, 'gold': 5} ] } } initial = {'A': 100, 'B': 50, 'gold': 200} result = max_equipment_x(graph, initial, 'X') print(f"测试1 - 最大合成数量: {result} (预期: 50)") # 测试用例2：多级合成 def test_multi_level_synthesis(): graph = { 'Iron': {'type': 'leaf'}, 'Wood': {'type': 'leaf'}, 'Handle': { 'type': 'composite', 'recipes': [ {'materials': {'Wood': 2}, 'gold': 3} ] }, 'Blade': { 'type': 'composite', 'recipes': [ {'materials': {'Iron': 3}, 'gold': 5} ] }, 'Sword': { 'type': 'composite', 'recipes': [ {'materials': {'Blade': 1, 'Handle': 1}, 'gold': 10} ] } } initial = {'Iron': 100, 'Wood': 50, 'gold': 300} result = max_equipment_x(graph, initial, 'Sword') print(f"测试2 - 最大合成数量: {result} (预期: 33)") # 测试用例3：多配方选择 def test_multiple_recipes(): graph = { 'A': {'type': 'leaf'}, 'B': {'type': 'leaf'}, 'C': {'type': 'leaf'}, 'X': { 'type': 'composite', 'recipes': [ {'materials': {'A': 3, 'B': 2}, 'gold': 8}, # 高成本配方 {'materials': {'A': 1, 'C': 4}, 'gold': 5} # 低成本配方 ] } } initial = {'A': 50, 'B': 100, 'C': 200, 'gold': 300} result = max_equipment_x(graph, initial, 'X') print(f"测试3 - 最大合成数量: {result} (预期: 50)") # 测试用例4：金币约束限制 def test_gold_constraint(): graph = { 'A': {'type': 'leaf'}, 'B': {'type': 'leaf'}, 'X': { 'type': 'composite', 'recipes': [ {'materials': {'A': 1, 'B': 1}, 'gold': 10} ] } } initial = {'A': 100, 'B': 100, 'gold': 50} result = max_equipment_x(graph, initial, 'X') print(f"测试4 - 最大合成数量: {result} (预期: 5)") if __name__ == "__main__": test_linear_synthesis() test_multi_level_synthesis() test_multiple_recipes() test_gold_constraint() ``` ## 算法优化与扩展 ### 1. 多级合成优化 对于复杂合成图谱，我们可以使用**记忆化技术**优化递归计算： ```python from functools import lru_cache @lru_cache(maxsize=None) def get_unit_requirements_cached(equipment, graph): # 与之前相同的实现，但使用缓存 # ... ``` ### 2. 成功概率处理 如果合成有成功概率$p$，我们可以计算**期望资源消耗**： $$ \text{期望消耗} = \frac{\text{基础消耗}}{p} $$ ### 3. 大规模数据处理 对于超大规模数据（金币>10^9），我们可以： 1. 使用迭代替代递归避免栈溢出 2. 优化二分搜索边界计算 3. 使用动态规划预处理合成路径 ### 4. 市场机制整合 如果允许装备交易，我们可以引入**装备价值评估**： $$ \text{装备价值} = \min\left(\text{直接购买价}, \sum (\text{材料价值} \times \text{数量}) + \text{合成金币消耗}\right) $$ ## 应用场景 该算法可应用于： 1. 游戏装备合成系统优化 2. 制造业原材料需求规划 3. 供应链资源分配 4. 云计算资源调度 5. 生产制造过程优化