树状数组求逆序对

### 使用树状数组（Fenwick Tree）计算逆序对 #### 方法概述 树状数组是一种支持高效单点更新和前缀和查询的数据结构，其核心思想是通过一种特殊的二进制表示方法来存储部分前缀和，从而使得每次更新或查询的时间复杂度降低至 \(O(\log n)\)[^1]。对于逆序对问题，可以通过从右向左遍历数组的方式，利用树状数组记录已经访问过的元素并统计小于当前元素的数量。 具体做法如下： - 将原数组中的数值离散化为排名值，以便减少内存占用。 - 初始化一个长度等于最大排名值的树状数组。 - 从右往左依次处理每个元素，先查询该元素之前有多少个大于它的数，再将其加入树状数组中[^2]。 --- #### 核心代码实现 (C++) 以下是基于 C++ 的树状数组实现逆序对计数的具体代码： ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; // 定义树状数组类 class FenwickTree { public: vector<int> tree; int size; FenwickTree(int n) : size(n), tree(n + 1, 0) {} // 更新某个位置的值 void update(int index, int value) { while (index <= size) { tree[index] += value; index += index & (-index); } } // 查询某一段区间的前缀和 int query(int index) const { int sum = 0; while (index > 0) { sum += tree[index]; index -= index & (-index); } return sum; } }; int countInversions(vector<int>& nums) { if (nums.empty()) return 0; // 离散化过程 vector<int> sortedNums(nums.begin(), nums.end()); sort(sortedNums.begin(), sortedNums.end()); sortedNums.erase(unique(sortedNums.begin(), sortedNums.end()), sortedNums.end()); auto getRank = [&](const int& num) -> int { return lower_bound(sortedNums.begin(), sortedNums.end(), num) - sortedNums.begin() + 1; }; int rankSize = sortedNums.size(); FenwickTree fenwick(rankSize); long long inversionCount = 0; for (auto it = nums.rbegin(); it != nums.rend(); ++it) { // 反向迭代 int rank = getRank(*it); inversionCount += fenwick.query(rank - 1); // 统计前面比它小的数 fenwick.update(rank, 1); // 插入当前数 } return inversionCount; } int main() { vector<int> nums = {7, 5, 6, 4}; cout << "Number of inversions: " << countInversions(nums) << endl; // 输出应为 5 return 0; } ``` 上述代码定义了一个 `FenwickTree` 类用于管理树状数组的操作，并提供了一种通用的方式来计算任意整数序列中的逆序对数目[^3]。 --- #### 关键点解析 1. **离散化** 原始数组可能包含非常大的整数值，这会显著增加树状数组的空间需求。因此，通常需要将原始数组映射到一个小范围内的连续整数集合上，这一过程称为离散化[^4]。 2. **反向遍历** 计算逆序对的关键是从最后一个元素开始逐步向前扫描整个数组。这样做的好处是可以动态维护已知范围内所有可能出现的小于当前元素的次数。 3. **时间复杂度分析** 整个算法由两部分组成：一是排序与去重后的离散化阶段；二是实际运用树状数组完成倒置对统计的部分。总体来看，这两个环节都维持在 \(O(n \log n)\)，其中 \(n\) 表示输入列表大小。 --- ###