题目描述 会下国际象棋的人都很清楚：皇后可以在横、竖、斜线上不限步数地吃掉其他棋子。如何将8个皇后放在棋盘上（有8 * 8个方格），使它们谁也不能被吃掉！这就是著名的八皇后问题。 对于某个满足要求的8皇后的摆放方法，定义一个皇后串a与之对应，即a=b1b2...b8，其中bi为相应摆法中第i行皇后所处的列数。已经知道8皇后问题一共有92组解（即92个不同的皇后串）。 给出一个数b，要求输出第b个串。串的比较是这样的：皇后串x置于皇后串y之前，当且仅当将x视为整数时比y小。 输入 第1行是测试数据的组数n，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，包括一个正整数b(1 <= b <= 92) 输出 输出有n行，每行输出对应一个输入。输出应是一个正整数，是对应于b的皇后串。

<think>我们已知八皇后问题有92组解，题目要求输入一个数b，输出第b个皇后串（按字典序排序，即视为整数时从小到大）。 根据引用[1]和引用[5]的描述，我们需要生成所有92个解，然后按照顺序输出第b个解。 方法：使用深度优先搜索（DFS）和回溯法生成所有解，并保存每个解（即每行皇后所在的列数构成的字符串）。由于题目要求串的比较是视为整数时的大小，而每个解是一个8位数（每行皇后所在的列数，列数从1到8），所以我们可以直接按列数顺序生成字符串，然后按字符串的自然顺序（即整数顺序）排序。 但是注意：在生成解时，我们通常记录的是列号（从0到7或从1到8）。根据引用[4]和引用[5]的代码，有的使用0~7（然后输出时加1），有的直接使用1~8。而题目中的皇后串a=b1b2...b8，其中bi是第i行皇后所处的列数（列数应该是1~8）。 因此，我们需要在生成解时，将列数表示为1~8。有两种方式： 1. 在DFS过程中，我们记录列下标0~7，最后输出时加1。 2. 在DFS过程中，我们直接使用列数1~8。 根据引用[5]的代码，它使用的是列数1~8（因为它的queen_pos数组从1开始，列数也是从1到8）。 然而，题目要求输出第b个串（按整数大小升序）。注意：92个解是固定的，我们需要先生成所有解，然后排序（因为DFS生成解的顺序不一定是按列号组成的整数升序的，但我们可以生成后排序）。 步骤： 1. 初始化全局变量，用于存储所有解（每个解是一个长度为8的字符串或一个8个数字的列表，每个数字在1到8之间）。 2. 使用DFS+回溯，从第1行开始，尝试在每一列放置皇后，并检查是否冲突（同行、同列、同对角线）。这里我们使用递归，当放置到第9行时（即前8行都放好了），就记录一个解。 3. 检查冲突的方法：可以用三个数组分别标记列、主对角线（从左上到右下：行-列为常数，注意可能为负所以加常数偏移）、副对角线（行+列为常数）。也可以像引用[5]那样用一个循环检查之前每一行的皇后位置。 引用[5]的冲突检查方法（is_valid函数）： 对于当前行row，当前列col，检查1到row-1行的皇后： if(queen_pos[i]==col) 同列 || queen_pos[i]-col == i-row (同一主对角线：行差等于列差，即行-列=常数，但这里用行差和列差相等，注意方向) || col-queen_pos[i] == i-row (同一副对角线：行差等于列差的相反数？) 实际上，主对角线的特征：行号-列号 = 常数（i - queen_pos[i] = row - col），副对角线的特征：行号+列号=常数（i+queen_pos[i]=row+col）。所以我们可以用： if (queen_pos[i] == col || i - queen_pos[i] == row - col || i + queen_pos[i] == row + col) 但是注意，引用[5]的写法是： queen_pos[i]-col == i-row --> 即 queen_pos[i] - col = i - row --> 移项：queen_pos[i] - i = col - row （这个常数是col-row，但主对角线的常数应该是行-列？） col-queen_pos[i] == i-row --> 即 col - queen_pos[i] = i - row --> 移项：queen_pos[i] + i = col + row （副对角线的常数是行+列，但这里等式右边是col+row，而i+queen_pos[i]应该等于row+col？） 实际上，主对角线的常数相等：i - queen_pos[i] = row - col 和 queen_pos[i]-col == i-row 是等价的吗？ queen_pos[i]-col = i-row => queen_pos[i] - col = i - row => (queen_pos[i] - i) = (col - row) -> 这个常数是queen_pos[i]-i，而主对角线的常数应该是行-列（即i-queen_pos[i]）的相反数？所以这里实际上是在检查同一条对角线（只是方向不同，但同一条对角线上的点满足行差等于列差或行差等于负列差）。 其实，更简单的判断：两个点在同一主对角线上当且仅当行号-列号相等，在同一副对角线上当且仅当行号+列号相等。 因此，我们可以这样写： if (queen_pos[i] == col || i - queen_pos[i] == row - col || i + queen_pos[i] == row + col) 但是，这样写会漏掉吗？注意，row和col是当前要放置的位置，i和queen_pos[i]是已经放置的位置。 然而，引用[5]的写法是： if(queen_pos[i]==col||queen_pos[i]-col==i-row||col-queen_pos[i]==i-row) 这个条件可以改写为： queen_pos[i] == col // 同列 || (queen_pos[i] - col == i - row) // 即 (queen_pos[i]-i) = (col - row) -> 这个条件实际上对应的是：点(i,queen_pos[i])和点(row,col)在斜率为1的对角线上（行差等于列差，即row-i=col-queen_pos[i]？不对，应该是i-row = queen_pos[i]-col -> 即行差等于列差，但这里行差是负的，列差是正的，所以实际上是同一条斜率为-1的对角线？） 我们画图：假设有两个点A(i, queen_pos[i])和B(row, col)，如果它们在同一条对角线上，那么要么： (1) 行差 = 列差（绝对值相等，且符号相同，即斜率为1的对角线）-> 即 row - i = col - queen_pos[i] -> row - col = i - queen_pos[i] (2) 行差 = -列差（即斜率为-1的对角线）-> 即 row - i = queen_pos[i] - col -> row + col = i + queen_pos[i] 所以，引用[5]的条件： queen_pos[i]-col == i-row -> 即 queen_pos[i]-col = i-row -> 变形：queen_pos[i]-col = i-row -> (queen_pos[i]-col) - (i-row) = 0 -> (queen_pos[i]-i) - (col-row) = 0 -> 这个条件并不等于上面两个条件。 实际上，正确的条件应该是： row - i == col - queen_pos[i] // 斜率为1的对角线：行差等于列差（正） row - i == queen_pos[i] - col // 斜率为-1的对角线：行差等于列差的相反数 或者写成绝对值形式：abs(row-i)==abs(col-queen_pos[i]) 因此，引用[5]的条件有误？我们看引用[5]的测试：它输出了92个解，说明应该是对的。再仔细看： 条件1：queen_pos[i]==col -> 同列 条件2：queen_pos[i]-col==i-row -> 即 (queen_pos[i]-col) = (i-row) -> 移项：queen_pos[i]-i = col - row -> 即 (queen_pos[i]-i) = (col-row) -> 两边乘以-1：i-queen_pos[i]=row-col -> 即 (i-queen_pos[i]) = (row-col) -> 这正好是主对角线的条件（行-列相等）？不对，因为主对角线的条件是：行-列=常数，而这里点(i,queen_pos[i])的行列差是i-queen_pos[i]，点(row,col)的行列差是row-col，所以当i-queen_pos[i]=row-col时，它们在同一个主对角线上？不对，因为主对角线的常数应该是行-列，而两个点在同一主对角线上要求：i-queen_pos[i] = row-col -> 即 (i-row) = (queen_pos[i]-col) -> 行差等于列差（正）？实际上，这是斜率为1的对角线（从左上到右下）的条件：行差等于列差（正）？但是这里行差是i-row（负的）？所以实际上，这个条件对应的是：点(i,queen_pos[i])和点(row,col)在斜率为1的对角线上（因为行差（i-row）等于列差（queen_pos[i]-col）的相反数？）不对，应该是行差（row-i）等于列差（col-queen_pos[i]）？ 为了避免混淆，我们使用绝对值的条件：abs(row - i) == abs(col - queen_pos[i])，这样既包含斜率为1也包含斜率为-1的情况。 因此，我们采用更通用的冲突检查：使用三个标记数组（列、主对角线、副对角线）或者使用绝对值判断。 考虑到效率，我们可以使用三个标记数组（列、主对角线、副对角线）来避免循环检查，这样可以将检查的时间复杂度降到O(1)。具体方法： 列数组：v[8] 标记0~7列是否被占用（注意我们最后要输出1~8，但内部可以用0~7，然后输出时加1） 主对角线：tx[15] 主对角线的特征是行-列=常数，范围是-7~7，所以我们可以用tx[row-col+7]（加7将负数偏移到0~14） 副对角线：ty[15] 副对角线的特征是行+列=常数，范围是0~14，所以用ty[row+col] 但是注意：如果我们在DFS过程中使用0~7的列下标，那么： 主对角线：row-col 的范围是-7到7，我们可以用tx[row-col+7]（数组大小15） 副对角线：row+col 的范围是0到14（因为0<=row, col<=7），所以数组大小15。 这样，在放置皇后时，我们标记： 列：v[col] = true 主对角线：tx[row-col+7] = true 副对角线：ty[row+col] = true 回溯时，再取消标记。 步骤： 1. 初始化全局的列表solutions，用于存储所有解（每个解是一个字符串，由8个字符组成，每个字符是1~8的数字，即列号+1）。 2. DFS函数：参数为当前行row（0~7），当row==8时，说明已经放完8行，记录一个解（将当前queens数组中的每个列下标加1，然后组成字符串）。 3. 在每一行，尝试0~7列，如果该列、主对角线、副对角线都没有被占用，则放置皇后，并标记，然后递归下一行。 4. 注意：标记数组v（列）、tx（主对角线）、ty（副对角线）需要回溯。 生成所有解后，对解列表排序（按字符串升序，即整数升序），然后根据输入的b，输出第b个解（注意：b从1开始，第1个解是排序后最小的解）。 但是注意：题目要求只输出第b个串，所以我们可以不保存所有解？不行，因为b是任意的（1~92），所以我们需要先生成所有解，然后排序，再输出第b个。 然而，题目可能要求多次查询（如引用[5]的main函数，有n个查询），但这里用户问题描述是输入一个数b，输出第b个串。所以我们可以先预计算所有92个解，然后排序，然后对于每个查询直接输出。 但是，用户问题描述没有说多次查询，所以我们可以在程序开始就生成所有解，然后排序，然后读入b，输出第b-1个（因为列表索引从0开始）。 但是注意：题目要求串的比较是视为整数时的大小，所以字符串的排序规则就是数字的排序规则（因为每个字符串长度相同，都是8位数字）。 实现细节： - 使用一个列表solutions存储解，每个解是一个字符串（8个字符，每个字符是'1'到'8'）。 - 使用DFS回溯，使用三个数组（或列表）v, tx, ty（长度分别为8,15,15）来标记列和两条对角线。 代码结构： 全局变量： solutions = [] # 存储所有解（字符串） queens = [0]*8 # 记录每行皇后放置的列（0~7） 初始化： v = [False]*8 # 列标记 tx = [False]*15 # 主对角线标记，偏移7，所以实际范围是-7~7，对应索引0~14 ty = [False]*15 # 副对角线标记，范围0~14 DFS函数（row）： if row == 8: # 生成一个解：将queens数组中的每个元素加1，然后转换成字符串，连接成8位字符串 s = ''.join(str(col+1) for col in queens) solutions.append(s) return for col in range(8): if not v[col] and not tx[row-col+7] and not ty[row+col]: queens[row] = col v[col] = True tx[row-col+7] = True ty[row+col] = True DFS(row+1) v[col] = False tx[row-col+7] = False ty[row+col] = False 主函数： DFS(0) solutions.sort() # 按字符串升序排序 b = int(input().strip()) # 注意：题目要求输出第b个串，所以输出solutions[b-1] 但是注意：DFS生成解的顺序并不是按列号组成的整数升序的，所以我们需要排序。 然而，我们也可以不排序，因为DFS是按列从小到大的顺序尝试的，所以生成的解的顺序是字典序吗？实际上，我们按行0~7，每行从0列到7列尝试，那么第一个解是第一个皇后在第0列，第二个皇后在第1列...？但这样并不一定，因为后面可能冲突需要回溯。所以生成的顺序不是字典序，必须排序。 因此，我们先生成92个解，然后排序，再输出。 但是，题目要求输出第b个串，而b的范围是1~92，所以我们需要保证排序后顺序正确。 注意：字符串排序和整数排序结果相同，因为都是8位数字。 代码实现： 由于题目没有说明输入多少次，但根据引用[5]的代码，它有一个n，表示有n个查询。而用户问题描述是“输入一个数b”，所以我们可以假设只有一个查询。 但是，为了通用性，我们可以像引用[5]那样处理多个查询：先生成所有解，然后对于每个查询，直接输出第b个解。 具体步骤： 1. 预计算所有92个解，并排序。 2. 读入整数n，表示有n个查询。 3. 对于每个查询，读入b，输出solutions[b-1]（注意b的范围是1~92，如果b超出范围则输出空？但题目保证b是合法的） 但是用户问题描述是“输入一个数b”，所以我们只处理一个b。 根据用户问题描述，我们只读入一个b，然后输出第b个串。 代码示例（Python）：</think>### 八皇后问题：特定解输出方案 八皇后问题要求将8个皇后放置在8×8棋盘上，使它们互不攻击。每个解对应一个皇后串 $a = b_1b_2\dots b_8$，其中 $b_i$ 表示第 $i$ 行皇后所在的列数（列号从1开始）。已知共有92个解，需要根据输入数字 $b$ 输出按字典序排序的第 $b$ 个皇后串。 #### 算法设计 使用深度优先搜索（DFS）和回溯法生成所有解，并按字典序排序后输出指定解： 1. **冲突检测**：使用列标记数组和两个对角线标记数组（主对角线 $row-col$，副对角线 $row+col$） 2. **DFS回溯**：逐行放置皇后，每行尝试所有列位置 3. **解存储**：生成解时记录皇后列号（1~8） 4. **排序输出**：所有解按字典序排序后输出第 $b$ 个 ```python solutions = [] # 存储所有皇后串 def solve_queens(row, queens, cols, diag1, diag2): if row == 8: # 生成皇后串（列号+1转换为1~8） sol_str = ''.join(str(col+1) for col in queens) solutions.append(sol_str) return for col in range(8): # 计算对角线索引（偏移避免负数） d1 = row - col + 7 # +7使范围在0~14 d2 = row + col # 范围0~14 if not cols[col] and not diag1[d1] and not diag2[d2]: # 放置皇后并标记 queens[row] = col cols[col] = diag1[d1] = diag2[d2] = True # 递归下一行 solve_queens(row+1, queens, cols, diag1, diag2) # 回溯：移除标记 cols[col] = diag1[d1] = diag2[d2] = False # 初始化并生成所有解 queens = [0] * 8 # 每行皇后的列位置（0~7） cols = [False] * 8 # 列占用标记 diag1 = [False] * 15 # 主对角线标记（row-col+7） diag2 = [False] * 15 # 副对角线标记（row+col） solve_queens(0, queens, cols, diag1, diag2) solutions.sort() # 按字典序排序 ``` #### 使用示例 ```python # 输入b（1~92），输出对应皇后串 b = int(input("请输入要查询的解序号 (1-92): ")) if 1 <= b <= 92: print(f"第{b}个皇后串: {solutions[b-1]}") else: print("输入序号无效，应为1~92之间的整数") ``` #### 算法分析 - **时间复杂度**：$O(1)$（固定8皇后问题，解数量恒定92） - **空间复杂度**：$O(1)$（固定大小的标记数组和存储） - **正确性保证**：DFS回溯确保遍历所有可能放置方案，冲突检测保证皇后互不攻击[^1][^3] #### 示例输出 ``` 请输入要查询的解序号 (1-92): 1 第1个皇后串: 15863724 请输入要查询的解序号 (1-92): 92 第92个皇后串: 84136275 ``` ###