宽带发射波束图合成：方法与数值示例

### 宽带发射波束图合成：方法与数值示例 在信号处理和通信领域，宽带发射波束图合成是一个重要的研究课题。本文将详细介绍一种有效的宽带发射波束图合成方法，并通过数值示例展示其性能。 #### 1. 问题背景与约束条件 在宽带发射波束图合成中，我们需要设计满足特定条件的信号序列。通常，我们会对设计的序列施加能量约束，即对于每个序列 \(x_m(n)\)，有 \(\sum_{n = 1}^{N} |x_m(n)|^2 = N\)，其中 \(m = 1, \cdots, M\)。同时，还会考虑峰值平均功率比（PAR）约束，其定义为 \(\text{PAR}(x_m) \leq \rho\)，其中 \(\rho \geq 1\) 是预先定义的阈值。 然而，由于 PAR 约束的存在，优化问题往往是非凸的。例如，当 \(\rho = 1\) 时，每个 \(x_m(n)\) 只能取单位圆上的值，而单位圆不是一个凸集。全局优化算法，如模拟退火方法，由于问题的高维度，计算成本通常过高。因此，我们需要寻找一种更有效的算法来解决这个问题。 #### 2. 提出的设计方法 为了解决上述优化问题，我们采用了一种两阶段的设计方法。 ##### 2.1 阶段一：波束图到频谱 在这个阶段，我们将问题转化为求解关于 \(y_p\) 的优化问题，其中 \(y_p\) 被视为 \(C^{M\times1}\) 中的一般向量。具体步骤如下： |步骤|操作| | ---- | ---- | |步骤 0|初始化 \(\{\varphi_{kp}\}\)，例如 \(\{\varphi_{kp}\} = 0\) 或 \(\{\varphi_{kp}\}\) 是在 \([0, 2\pi]\) 上均匀分布的随机变量。| |步骤 1|对于 \(\{\varphi_{kp}\}\) 设置为其最新值（记为 \(\{\hat{\varphi}_{kp}\}\)），定义矩阵 \(A_p\) 和向量 \(b_p\) 如下： \[ A_p = \begin{bmatrix} a_{1p}^H \\ \vdots \\ a_{Kp}^H \end{bmatrix} , b_p = \begin{bmatrix} d_{1p}e^{j\hat{\varphi}_{1p}} \\ \vdots \\ d_{Kp}e^{j\hat{\varphi}_{Kp}} \end{bmatrix} \] 则优化问题 \(\sum_{p} \|b_p - A_py_p\|^2\) 的最小化器 \(\{y_p\}\) 由最小二乘估计给出： \[ \hat{y}_p = (A_p^H A_p)^{-1}A_p^H b_p, \quad p = -\frac{N}{2}, \cdots, 0, \cdots, \frac{N}{2} - 1 \] | |步骤 2|对于 \(\{y_p\}\) 设置为其最新值，最小化器 \(\{\varphi_{kp}\}\) 由下式给出： \[ \hat{\varphi}_{kp} = \arg(a_{kp}^H\hat{y}_p) \] | |迭代|重复步骤 1 和 2 直到收敛，例如直到连续两次迭代中 \(\{\varphi_{kp}\}\) 的变化小于预先定义的阈值。| 这个算法会单调地减小目标函数的值，因此必然会收敛到至少一个局部最小值。其基本原理与 Gerchberg - Saxton 算法相关。 需要注意的是，根据 Parseval 等式，对 \(\{x_m(n)\}\) 的能量约束会对 \(\{y_p\}\) 施加约束，即 \(\sum_{p = -\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2} - 1} |y_m(p)|^2 = N^2\)，其中 \(y_m(p)\) 是 \(y_p\) 的第 \(m\) 个元素。为了简化计算，表 15.1 中的步骤省略了这个约束，但由于在阶段二中会考虑 \(\{x_m(n)\}\) 的能量约束，所以该算法仍然能取得较好的性能。 ##### 2.2 阶段二：频谱到波形 在阶段二中，我们的目标是在 PAR 约束下合成波形 \(\{x(n)\}_{n = 1}^{N}\)，使其离散傅里叶变换（DFT）尽可能接近阶段一中得到的 \(\{\hat{y}_p\}_{p = -\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2} - 1}\)。 由于阶段一中得到的 \(\{\hat{y}_p\}\) 存在相位模糊性，我们引入辅助变量 \(\{\psi_p\}_{p = -\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2} - 1}\)，并最小化以下拟合准则： \[ \sum_{p = -\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2} - 1} \left\|\hat{y}_p^T e^{j\psi_p} - \begin{bmatrix} 1 & e^{-j2\pi \frac{p}{N}} & \cdots & e^{-j2\pi \frac{(N - 1)p}{N}} \end{bmatrix} X \right\|^2 \] 其中 \(X = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_M \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1(1) & x_2(1) & \cdots & x_M(1)