交替投影时态认知逻辑：原理与应用

### 交替投影时态认知逻辑：原理与应用 #### 1. 引言 在当今智能时代，多智能体系统（MAS）的验证需求日益复杂。模型检查作为验证软硬件系统属性的自动技术，关键在于如何用逻辑公式准确描述系统属性。当前基于单一逻辑的模型检查方法已难以满足MAS的验证需求。 时态逻辑常用于推理系统的正确性，而认知逻辑则用于推理系统的信息。为同时推理MAS的正确性和信息，有学者将时态逻辑和认知逻辑融合，得到能同时呈现系统时态和认知属性的混合逻辑。不过，现有时态逻辑LTL和CTL的表达能力存在局限。鉴于交替投影时态逻辑（APTL）强大的表达能力，本文将其与认知逻辑结合，得到交替投影时态认知逻辑（APTEL）。 #### 2. 预备知识 ##### 2.1 并发博弈结构与交替认知转换系统 APTL公式的语义基于并发博弈结构（CGS）给出。CGS是一个元组$C = (P, A, S, S_0, l, Δ, τ)$，各参数含义如下： - $P$：有限非空原子命题集。 - $A$：有限智能体集。 - $S$：有限非空状态集。 - $S_0$：有限非空初始状态集。 - $l$：状态标注函数，为每个状态分配原子命题子集。 - $Δ_a(s)$：智能体$a$在状态$s$的可能决策非空集。 - $Δ_A(s)$：智能体集合$A$在状态$s$的决策向量非空集，简化为$Δ(s)$表示所有智能体的决策。对于决策$d \in Δ(s)$，$d_a$表示智能体$a$的决策，$d_A$表示智能体集合$A$的决策。 - $τ(s, d)$：将状态$s$和智能体决策$d$映射到新状态。 CGS的交替转换关系可表示为$T : S × P × 2^A → B^+(S)$，其中$B^+(S)$是由$S$中的元素通过$\land$和$\lor$构建的正布尔公式。 路径$\lambda = s_0, s_1, \cdots$是状态的非空序列，可有限或无限。路径投影的定义为：设$r_1, \cdots, r_k$是整数，$0 = r_1 \leq \cdots \leq r_h \leq |\lambda|$，则$\lambda$在$r_1, \cdots, r_h$上的投影为$\lambda \downarrow (r_1, \cdots, r_h) = s_{t_1}, s_{t_2}, \cdots, s_{t_l}$，其中$t_1, \cdots, t_l$是从$r_1, \cdots, r_h$中删除所有重复项得到的最长严格递增子序列。 交替认知转换系统（AETS）在CGS基础上增加了认知可达关系$\sim_1, \cdots, \sim_k \subseteq S × S$，用于表达智能体的信念。AETS表示为$AS = (P, A, S, S_0, l, Δ, \sim_1, \cdots, \sim_k, τ)$，其中$\sim_a \subseteq S × S$是每个智能体$a$的认知可达关系，且要求每个$\sim_a$是等价关系。 认知关系方面，若$A \subseteq A$，用$\sim^E_A$表示$A$的可达关系的并集，即$\sim^E_A = (\bigcup_{a \in A} \sim_a)$；用$\sim^C_A$表示$\sim^E_A$的传递闭包，后续将用它们为逻辑中的共同知识和“每个人都知道”模态提供语义。 下面是一个简单的mermaid流程图，展示CGS的状态转换： ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px A([初始状态]):::startend -->|决策d| B(新状态):::process ``` ##### 2.2 认知逻辑 认知逻辑是一种知识模态逻辑。它起源于Jaakko Hintikka的工作，20世纪80年代，人们认识到认知逻辑在分布式系统理论中具有重要作用，可用于形式化表达协议的期望行为。例如，在指定通信协议时，可用认知逻辑表达“如果进程$i$知道进程$j$已收到数据包$m$，则$i$应发送数据包$m + 1$”这样的要求。 此外，基于知识的程序一般形式如下： ```plaintext case of if K⟨i⟩ψ1 do act1 ... if K⟨i⟩ψn do actn end case ``` 其直观解释是一组规则集合，每个规则的左侧表示智能体知道的条件（用认知逻辑表达），若条件满足，则执行相应动作。 #### 3. 交替投影时态认知逻辑 ##### 3.1 APTEL语法 设$P$是有限原子命题集，$A$是有限智能体集。APTEL公式由以下语法定义： $P :: = p | \neg P | P \lor Q | \bigcirc\langle A \rangle P | (P_1, \cdots, P_m)prj\langle A \rangle Q | K\langle a \rangle P | E\langle A \rangle P | C\langle A \rangle P$ 其中，$p \in P$，$A \subseteq A$，$P_1, \cdots, P_m$、$P$和$Q$是格式良好的APTEL公式。$\bigcirc\langle A \rangle$（下一个）和$prj\langle A \rangle$（投影）是带智能体集的基本时态运算符；$K\langle a \rangle P$表示智能体$a$知道$P$；$E\langle A \rangle P$表示智能体集合$A$中的每个人都知道$P$；$C\langle A \rangle P$表示智能体集合$A$中的共同知识使$P$为真。 若APTEL公式不包含时态运算符，则称为状态公式，否则为时态公式。缩写$true$、$false$、$\lor$、$\to$和$\leftrightarrow$的定义与经典命题逻辑相同。 下面是一个简单的表格，总结APTEL的运算符： | 运算符 | 含义 | | ---- | ---- | | $\bigcirc\langle A \rangle$ | 下一个 | | $prj\langle A \rangle$ | 投影 | | $K\lan