计算机中的数制系统与数据表示

### 计算机中的数制系统与数据表示 在计算机领域，数制系统和数据表示是非常基础且重要的概念。了解不同的数制系统以及如何在它们之间进行转换，对于理解计算机的工作原理至关重要。 #### 1. 数制系统基础 在日常生活中，我们最常用的是十进制数制，也就是以 10 为基数的数制。但在计算机中，还广泛使用二进制、八进制和十六进制。 不同基数下相同数字的表示和值是不同的。例如，十进制的 221 与八进制的 221 和十六进制的 221 所代表的实际数值不同： - \(221_{(10)} = 2 * 10^2 + 2 * 10^1 + 1 * 10^0 = 221\) - \(221_{(8)} = 2 * 8^2 + 2 * 8^1 + 1 * 8^0 = 145\) - \(221_{(16)} = 2 * 16^2 + 2 * 16^1 + 1 * 16^0 = 545\) 这种通过位置来确定数字值的方法称为位置记数法，它是评估任何基数正整数的关键，并且其十进制值是进行数制转换的参考点。 ##### 1.1 二进制 计算机使用的数制系统是二进制，即基数为 2。在二进制数中，每个系数 \(C_i\) 带有 \(2^i\) 的权重。任何信息、机器指令或数据都由 0 和 1 组成的位串表示。 以四位二进制数为例，它可以表示一个无符号整数，其值始终为正。实际上，四位二进制数可看作是五位二进制数，其中最左边的 0 作为正号被隐藏。由于总共有 \(2^4 = 16\) 种组合，所以可以表示从 0 到 15 的 16 个正整数。每个系数由 0 或 1 表示。 二进制数的加法运算遵循特定规则。例如，要表示 1，需要在 0000 的基础上加 1 得到 0001；要表示 2，则在 0001 的基础上加 1，由于二进制位不能大于 1，所以和位变为 0，并向更高位进位： ``` 0001 +) 1 0010 ``` 给定一个二进制数，可以使用其位置记数法计算其十进制值。例如： \(1001 0001_{(2)} = 1 * 2^7 + 1 * 2^4 + 1 * 2^0 = 128 + 16 + 1 = 145\) 在简单的 CPU 中，加法器用于执行两个二进制数 A 和 B 之间的算术运算。加法器接收输入 A 和输入 B，并生成算术和 S。16 位加法器意味着在一个加法周期内可以将两个 16 位操作数相加，而 32 位加法器可以在一个加法周期内将两个 32 位操作数相加。一位全加器的框图如下： ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px; classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px; A(Ai):::process --> S(Si):::process B(Bi):::process --> S C(Ci):::process --> S S --> C1(Ci+1):::process ``` 一位全加器有三个输入 \(A_i\)、\(B_i\) 和 \(C_i\)，以及两个输出 \(S_i\) 和 \(C_{i + 1}\)： - \(A_i\) 是 A 中的第 i 位。 - \(B_i\) 是 B 中的第 i 位。 - \(C_i\) 是第 i 位的进位输入。 - \(S_i\) 是第 i 位的和输出。 - \(C_{i + 1}\) 是第 i 位的进位输出或第 i + 1 位的进位输入。 如果加法器只能添加两个输入位，则称为半加器。 ##### 1.2 八进制 当基数为 8 时，数字被称为八进制形式。八进制数字范围从 0 到 7，不存在 8 及以上的数字。由于基数不同，八进制中的数字与十进制中相同数字的实际值不同。例如，八进制的 221 表示“二、二、一 八进制”，这里的八进制“百”（\(8^2 = 64\)）与十进制的“百”定义不同。同样可以使用位置记数法计算八进制数的十进制值。 ##### 1.3 十六进制 当基数为 16 时，数制系统为十六进制。在十六进制系统中，需要 16 个不同的符号来表示所有十六进制数字。除了 0 - 9 这十个十进制数字外，还使用字母 A - F 来表示 10 - 15。以下是前 16 个十进制、二进制、八进制和十六进制数字的对应关系： | 十进制 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 | | ---- | ---- | ---- | ---- | | 0 | 0000 | 0 | 0 | | 1 | 0001 | 1 | 1 | | 2 | 0010 | 2 | 2 | | 3 | 0011 | 3 | 3 | | 4 | 0100 | 4 | 4 | | 5 | 0101 | 5 | 5 | | 6 | 0110 | 6 | 6 | | 7 | 0111 | 7 | 7 | | 8 | 1000 | 10 | 8 | | 9 | 1001 | 11 | 9 | | 10 | 1010 | 12 | A | | 11 | 1011 | 13 | B | | 12 | 1100 | 14 | C | | 13 | 1101 | 15 | D | | 14 | 1110 | 16 | E | | 15 | 1111 | 17 | F | 每个四位无符号整数的值范围从 0 到 15。由于 16 代表十六进制，所以通常用 x 来代替基数 16，例如 \(221_{(16)}\) 可以写成 \(221_x\)。在现代计算机中，二进制数通常以十六进制形式书写，因为位模式更容易可视化。 #### 2. 数制转换 理解位置记数法的基本概念后，就可以将正整数 A 转换为任何基数 B 的数。一种常用的转换方法是除法算法： 1. 给定一个数 N。 2. 重复以下步骤： - 将 N 除以 B，得到商和余数。 - 余数是基数 B 表示的数中从最右边开始的下一位数字。 - 将 N 设置为得到的商作为新的数。 3. 直到 N 为 0 为止。 例如，将十进制数 145 转换为八进制数： ``` 8 | 145 | 1 = Co 8 | 18 | 2 = C1 8 | 2 | 2 = C2 ``` 所以 \(145_{(10)} = 221_{(8)}\) 使用这种除法算法，还可以将二进制的正整数 A 转换为任何基数的数，并将每个系数从二进制转换为文本字符，然后在屏幕上显