用GARCH类模型建模波动率

### 用GARCH类模型建模波动率 #### 1. GARCH模型简介 GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型是ARCH模型的扩展，可以看作是应用于时间序列方差的ARMA模型。ARCH模型已经体现了自回归（AR）部分，而GARCH模型额外增加了移动平均（MA）部分。 GARCH模型的方程如下： - \(r_t = \mu + \epsilon_t\) - \(\epsilon_t = \sigma_t z_t\) - \(\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i = 1}^{q} \alpha_i \epsilon_{t - i}^2 + \sum_{i = 1}^{p} \beta_i \sigma_{t - i}^2\) 参数约束条件为：\(\omega \geq 0\)，\(\alpha_i \geq 0\)，\(\beta_i \geq 0\)。 GARCH模型的两个超参数： - \(p\)：滞后方差的数量 - \(q\)：均值过程中滞后残差误差的数量 推断ARCH/GARCH模型滞后阶数的一种方法是使用用于预测原始时间序列均值的模型的平方残差。由于残差以零为中心，它们的平方对应于它们的方差。我们可以检查平方残差的ACF/PACF图，以识别序列方差的自相关模式。 在GARCH模型中，系数还有额外的约束。例如，对于GARCH(1,1)模型，\(\alpha_1 + \beta_1\)必须小于1，否则模型不稳定。GARCH(0, q)模型等价于ARCH(q)模型。 #### 2. 使用Python估计GARCH(1,1)模型 以下是在Python中估计GARCH(1,1)模型的步骤： ```python import pandas as pd from arch import arch_model # 假设returns是已经定义好的收益率序列 # 1. 指定GARCH模型 model = arch_model(returns, mean="Zero", vol="GARCH", p=1, q=1) # 2. 估计模型并打印摘要 fitted_model = model.fit(disp="off") print(fitted_model.summary()) # 3. 绘制残差和条件波动率 fitted_model.plot(annualize="D") ``` 运行上述代码后，会得到模型的摘要信息，如下表所示： | 统计量 | 值 | | --- | --- | | Dep. Variable | asset_returns | | R-squared | 0.000 | | Mean Model | Zero Mean | | Adj. R-squared | 0.001 | | Vol Model | GARCH | | Log-Likelihood | -3246.71 | | Distribution | Normal | | AIC | 6499.42 | | BIC | 6515.84 | | Method | Maximum Likelihood | | No. Observations | 1762 | | Date | Wed, Jun 08 2022 | | Time | 22:37:27 | | Df Residuals | 1762 | | Df Model | 0 | 波动率模型的系数信息如下： | 系数 | 估计值 | 标准误差 | t值 | P > \|t\| | 95.0%置信区间 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | omega | 0.2864 | 0.186 | 1.539 | 0.124 | [-7.844e-02, 0.651] | | alpha[1] | 0.1697 | 9.007e-02 | 1.884 | 5.962e-02 | [-6.879e-03, 0.346] | | beta[1] | 0.7346 | 0.128 | 5.757 | 8.538e-09 | [0.485, 0.985] | 与ARCH模型相比，GARCH模型的对数似然值增加，这意味着GARCH模型对数据的拟合更好。但在得出这样的结论时应谨慎，因为每次添加更多预测变量时，对数似然值很可能会增加。如果预测变量的数量发生变化，我们应该进行似然比检验，以比较两个嵌套回归模型的拟合优度标准。 #### 3. GARCH模型的扩展 在GARCH框架中，除了超参数（如普通GARCH模型中的\(p\)和\(q\)），我们还可以修改以下模型： ##### 3.1 条件均值模型 - 零均值 - 常数均值 - ARIMA模型的任何变体（包括潜在的季节性调整以及外部回归变量），文献中一些常见的选择是ARMA甚至AR模型 - 回归模型 ##### 3.2 条件波动率模型 - GJR - GARCH：考虑了收益率的不对称性（负收益率对波动率的影响往往比正收益率更强） - EGARCH：指数GARCH - TGARCH：阈值GARCH - FIGARCH：分数积分GARCH，用于非平稳数据 - GARCH - MIDAS：将波动率分解为短期GARCH成分和由额外解释变量驱动的长期成分 - 多元GARCH模型，如CCC - /DCC - GARCH ##### 3.3 误差分布 由于资产收益率的分布通常不是正态的（有偏且厚尾），GARCH模型中的误差可能更适合使用以下分布： - 学生t分布 - 偏t分布 - 广义误差分布（GED） - 偏广义误差分布（SGED） #### 4. 使用GARCH模型进行波动率预测 使用GARCH类模型进行波动率预测有三种方法： - 解析法：由于ARCH类模型的固有结构，一步预测总是可以