FIR滤波器：原理、应用与实践

### FIR滤波器：原理、应用与实践 #### 1. 离散时间系统概述 离散时间系统是一种将输入信号序列转换为输出信号序列的计算过程。通常，我们用框图来表示系统，例如在图中，输入信号 $x$ 通过系统算子 $T$ 转换为输出信号 $y$，可以简洁地表示为 $x[n] \xrightarrow{T} y[n]$。这意味着输出序列 $y$ 与输入序列 $x$ 之间存在一种由算子 $T$ 描述的计算关系。 离散时间信号是一系列数值，因此系统算子可以通过一个公式来描述，该公式用于根据输入序列的值计算输出序列的值。例如，$y[n] = (x[n])^2$ 定义了一个简单的系统，其中输出序列的值是对应输入序列值的平方。在这个例子中，时间索引为 $n$ 的输出仅取决于同一时间 $n$ 的输入值。 另一个更复杂的例子是“三值最大值系统”，其定义为 $y[n] = \max\{x[n], x[n - 1], x[n - 2]\}$。在这种情况下，输出值取决于三个连续的输入值，即当前值（索引为 $n$）以及两个先前的值（索引为 $n - 1$ 和 $n - 2$）。 由于定义离散时间系统的可能性是无限的，因此需要对所研究系统的属性进行一些限制。在本文中，我们将重点介绍一类非常重要的离散时间系统——有限脉冲响应（FIR）滤波器。 #### 2. 滑动平均滤波器 滑动平均是对离散时间信号进行的一种简单而有用的变换，它通过计算序列中两个或多个连续值的平均值，形成一个新的平均值序列。平均法常用于数据波动较大的情况，在进行数据分析之前需要对数据进行平滑处理。例如，股票市场价格每天甚至每小时都会有明显的波动，因此在寻找趋势之前，人们可能会计算几天内的股票价格平均值。另一个常见的例子是信用卡余额，利息通常是根据平均每日余额计算的。 为了引出 FIR 系统的一般定义，我们以简单的滑动平均作为一个处理输入序列以产生输出序列的系统示例。具体来说，考虑一个 3 点滑动平均，其中输出序列的每个样本是三个连续输入序列样本的和除以 3。 假设输入序列是一个有限长度的三角形序列，其支持区间为 $0 \leq n \leq 4$。对于输入值 $\{x[0], x[1], x[2]\} = \{2, 4, 6\}$，3 点平均值为 $\frac{1}{3}(2 + 4 + 6) = 4$，这定义了输出序列的一个值。下一个输出值是通过对 $\{x[1], x[2], x[3]\} = \{4, 6, 4\}$ 进行平均得到的，结果为 $\frac{14}{3}$。 在计算输出序列时，需要确定输出的索引。例如，可以将值 4 和 $\frac{14}{3}$ 分别分配给 $y[0]$ 和 $y[1]$，但这只是众多可能性之一。采用这种索引方式，输入 - 输出方程可以表示为： $y[n] = \frac{1}{3}(x[n] + x[n + 1] + x[n + 2])$ 这个方程被称为差分方程，它完整地描述了 FIR 系统，因为我们可以使用该方程计算所有索引值 $-\infty < n < \infty$ 的整个输出信号。对于给定的输入序列，输出序列的支持区间为 $-2 \leq n \leq 4$，并且输出序列的支持区间通常比输入序列更长，这是 FIR 滤波器的典型特征。 输出索引的选择是任意的，但在讨论滤波器的属性时很重要，因为 $n$ 通常表示时间索引。例如，上述定义的滤波器具有输出在输入开始之前就变为非零的特性，这在某些实时应用中是不可取的。 在计算滑动平均时，可能会使用过去、未来或两者的样本值。只使用当前和过去输入值的滤波器称为因果滤波器，而使用未来输入值的滤波器称为非因果滤波器。非因果系统在实时应用中无法实现，因为在计算输出时未来的输入值尚未可用。然而，在处理存储的数据块时，因果性问题可能不是一个关键限制。 可以通过另一种输出索引方案来设计一个因果的 3 点平均滤波器。在这种情况下，输出值 $y[n]$ 是当前输入值 $x[n]$、前一个样本值 $x[n - 1]$ 和前两个样本值 $x[n - 2]$ 的平均值。该滤波器的差分方程为： $y[n] = \frac{1}{3}(x[n] + x[n - 1] + x[n - 2]) = \sum_{\ell = n - 2}^{n} \frac{1}{3}x[\ell]$ 这个方程也可以表示为： $y[n] = \frac{1}{3}(x[n] + x[n - 1] + x[n - 2]) = \sum_{k = 0}^{2} \frac{1}{3}x[n - k]$ 使用这个因果差分方程，可以计算出所有输出值。结果表明，因果滤波器的输出只是非因果滤波器输出的一个移位版本，并且因果滤波器的输出在输入变为非零之前不会改变。 下面是一个表格，展示了使用因果差分方程计算的输出值： | $n$ | $n < -2$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $n > 7$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---