金融风险管理中的关键概念：从资产定价到波动率与相关性分析

# 金融风险管理中的关键概念：从资产定价到波动率与相关性分析 ## 1. 资产组合与资本资产定价模型拓展 ### 1.1 资产组合分散化与协方差 在金融投资中，资产组合的构建是降低风险的重要手段。通过增加资产组合中的资产数量，可以利用分散化效应降低组合方差。给定相关方程，任意一对资产 \(i\) 和 \(j\) 之间的协方差可以表示为特定的数学形式，这为分析资产之间的相互关系提供了基础。 ### 1.2 基于消费的资本资产定价模型（CCAPM） CCAPM 是传统资本资产定价模型（CAPM）的拓展，它将消费因素纳入到投资预期回报的计算中。在一个多期模型中，假设存在一个无限期生存的代表性家庭，其预期终身效用函数由消费的效用和贴现函数构成。家庭在每个时期 \(t\) 根据预算约束选择当前的消费水平 \(c_t\)。投资者对金融证券的最优持有量可以通过一阶条件推导得出，该条件反映了证券赎回用于消费所获得的效用与购买证券放弃消费所损失的边际效用之间的平衡。 CCAPM 的标准方程表明，在均衡状态下，资产回报加 1 的预期值乘以消费效用的边际替代率等于 1。对于无风险资产，CCAPM 公式具有特定形式。通过将无风险资产的公式从一般资产的公式中减去，可以得到以资产超额回报表示的模型，即超额回报乘以消费边际替代率的预期值等于 0。 ### 1.3 三因子模型与套利定价理论 CAPM 是单因子模型，仅使用一个参数（贝塔）来实现模型或从数据中估计。为了更准确地解释资产回报，Eugene Fama 和 Kenneth French 提出了三因子模型。他们通过实证分析发现，小市值股票和高账面市值比股票往往表现优于平均水平。为了捕捉这些因素的影响，他们计算了小市值减去大市值（SMB）和高账面市值比减去低账面市值比（HML）的股票回报。三因子模型的公式为： \[E(r_i) = r_f + \beta_{i,m}(E(r_m) - r_f) + \beta_{i,SMB}SMB + \beta_{i,HML}HML\] 其中，\(SMB\) 是 SMB 因子的预期超额回报，\(HML\) 是 HML 因子的预期超额回报，\(\beta_{i,SMB}\) 和 \(\beta_{i,HML}\) 分别是资产 \(i\) 对 SMB 和 HML 因子的贝塔值。该模型在原理上与 CAPM 一致，仍然认为高回报是对承担高风险的补偿，但通过引入更多因素丰富了分析内容。 套利定价理论（ATP）是另一种多因子模型，由 Stephen Ross 在 1976 年提出。它基于资产回报可以通过与多个共同风险因素相关联来预测的思想。与 CAPM 不同，ATP 不要求所有投资者具有相同的行为，也不认为切点组合是投资者持有的唯一风险资产。ATP 认为证券的预期回报应与其与共同因素的协方差相关，投资者可以通过构建投资组合来分散特质风险。假设回报由一组因素 \(F_1, F_2, \cdots, F_m\) 驱动，ATP 模型可以表示为： \[E(r_i) = r_f + \beta_{i,F_1}(E(r_{F_1}) - r_f) + \beta_{i,F_2}(E(r_{F_2}) - r_f) + \cdots + \beta_{i,F_m}(E(r_{F_m}) - r_f)\] 参数估计可以通过类似于 CAPM 的回归函数进行，基于多元回归分析。 ## 2. 金融市场中的波动率与相关性 ### 2.1 波动率的类型与测量 金融波动率是金融领域许多应用的基础输入，特别是在风险管理中。测量波动率的主要方法有历史波动率测量和隐含波动率计算。 #### 2.1.1 历史波动率 历史波动率定义为对数价格变化的标准差，通常通过定期观察市场价格来估计。假设在一段时间内观察到 \(n\) 个价格，每个价格对应一个时间区间的结束点。为了计算方差，需要先计算每个区间的回报 \(r_i\)，公式为： \[r_i = \ln(S_i) - \ln(S_{i - 1})\] 其中，\(S_i\) 是第 \(i\) 个区间结束时的股票价格，\(S_{i - 1}\) 是前一个区间结束时的股票价格。 然后，计算回报的均值 \(\bar{r}\) 和平方偏差之和 \(d^2\)，进而得到标准差估计值 \(s\)。需要注意的是，\(s\) 是总体标准差 \(\sigma\) 的有偏估计。为了获得年化波动率，可以根据观察周期的不同进行缩放，例如对于每日观察，\(m = 252\)；对于每周观察，\(m = 52\)；对于每月观察，\(m = 12\)。年化标准差的估计值为 \(\hat{\sigma} = s\sqrt{m}\)，估计的标准误差约为 \(\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{2n}}\)。 选择合适的观察数量 \(n\) 并不容易。增加观察数量可以提高计算的准确性，但包含过于久远的数据可能会使分析产生偏差。通过测量不同时间窗口的波动率并取平均值，可以识别长期稳定的波动率值，这有助于分析波动率的趋势和发现交易机会。 #### 2.1.2 隐含波动率 隐含波动率是由分析模型隐含的波动率，特别是由 Black - Scholes - Merton（BSM）模型隐含。根据 BSM 模型，欧式看涨期权的价格由特定公式给出，其中波动率参数 \(\sigma\) 作为常数进入模型。为了从期权的实际市场价格中获得隐含波动率，需要使用数值方法，因为 BSM 公式无法进行解析反演。不过，已经有一些近似公式用于计算隐含波动率，例如 M. Brenner 和 G. Subrahmanyam 在 1988 年提出的公式： \[\sigma = \frac{2c}{S\sqrt{\pi\Delta t}}\] 该公式适用于平价期权。另一种近似方法是 C. E. Curtis 和 G. L. Carriker 在 1988 年提出的直接隐含波动率估计（DIVE）方法。投资者使用隐含波动率来跟踪市场对特定股票波动率的看法，并利用活跃交易期权的隐含波动率为同一标的股票的非活跃交易期权定价。 #### 2.1.3 计量经济模型定义的波动率 计量经济模型为建模方差提供了另一种途径，例如 ARCH 和 GARCH 模型。这些模型允许在自回归（依赖过去值）回报和异方差（非恒定）条件方差的框架内对波动率进行建模。 ### 2.2 相关性与协方差 协方差和相关性用于描述两个变量之间的关系，包括关系的正负和变量同向或反向变动的程度。随机变