压电装置分析与板谐振器厚度剪切模式研究

# 压电装置分析与板谐振器厚度剪切模式研究 ## 1. 有限偏置上叠加小场的线性理论 在压电材料的研究中，线性压电理论假定材料从无预先存在的机械和/或电场（初始或偏置场）的理想参考状态产生无限小的偏差。然而，偏置场的存在会使材料表现得像另一种材料，从而使线性压电理论失效。此时，可采用有限偏置场上叠加无限小增量场的理论来描述电弹性体在偏置场下的行为，这是电弹性非线性理论的一个结果。 ### 1.1 电弹性体的三种状态 电弹性体存在以下三种状态： - **参考状态**：此时物体未变形且无电场。该状态下的一个通用点用笛卡尔坐标为 \(X_K\) 的 \(X\) 表示，质量密度为 \(\rho_0\)。 - **初始状态**：物体发生有限静态变形，并带有有限静态电场。物体受到体力 \(f^{\alpha}\)、体电荷 \(\rho_E\)、规定的表面位置 \(x^{\alpha}\)、表面牵引力 \(T^{\circ}\)、表面电势 \(\phi^{\circ}\) 和表面电荷 \(\sigma_E\) 的作用。此状态下的变形和场为初始或偏置场，材料点的位置由 \(x = x(X)\) 给出，应变记为 \(S^{\circ}_{KL}\)，电势为 \(\phi^{\circ}(X)\)，电场为 \(E^{\circ}_K\)。\(x(X)\) 和 \(\phi^{\circ}(X)\) 满足非线性电弹性的静态方程： \[ \begin{cases} S^{\circ}_{\alpha}=(\frac{x_{\alpha,K}x_{\alpha,L}-\delta_{KL}}{2})\\ E^{\circ}_K = -\phi^{\circ}_{,K}\\ E^i = - \phi^{\circ}_{,i}\\ T^{\circ}_{KL} - \rho_0\frac{\partial V}{\partial S_{KL}} = 0\\ J = \det(x_{\alpha K})\\ \Pi_{i\alpha}=J\rho_{E0}[E^{\circ}_{\rho}E^i_{\alpha}-E^{\circ}_iE^{\circ}_{\rho}\delta_{i\alpha}] \end{cases} \] - **当前状态**：在初始状态的变形物体上施加随时间变化的小增量变形和电场。物体受到 \(f_t\)、\(\rho_E\)、\(\gamma_t\)、\(T_t\)、\(\phi\) 和 \(\sigma_E\) 的作用。\(X\) 的最终位置为 \(y = y(X,t)\)，最终电势为 \(\phi(X,t)\)。\(y(X,t)\) 和 \(\phi(X,t)\) 满足非线性电弹性的动态方程： \[ \begin{cases} S_{KL}=(\frac{y_{i,K}y_{i,L}-\delta_{KL}}{2})\\ E_K = -\phi_{,K}\\ E_i = - \phi_{,i}\\ T_{KL}-\rho_0J\frac{\partial \dot{y}_i}{\partial S_{KL}} = 0\\ \Phi_K=-\rho_0\frac{\partial S_{KL}}{\partial \dot{E}_K}\\ K_{Lj} = y_{,j}^3A + M_{Lj}\\ \Theta_K= \epsilon_0J C_{KI}E^L + \Phi_K\\ M_{Lj} = Jx_{L,j}\epsilon_0 E_iE_j-\frac{1}{2}E_kE_k\delta_{ij}\\ K_{Lj,L} + \rho_0f_j = \rho_0\ddot{y}_j\\ \Theta_{K,K}= \rho_E \end{cases} \] ### 1.2 增量场的方程 设增量位移为 \(u(X,t)\)，增量电势为 \(\phi^1(X,t)\)。假设 \(u\) 和 \(\phi^1\) 为无限小量，将 \(y\) 和 \(\phi\) 表示为： \[ \begin{cases} y_i(X,t) = \delta_{i\alpha}[x_{\alpha}(X,t) + u_{\alpha}(X,t)]\\ \phi(X,t) = \phi^{\circ}(X,t) + \phi^1(X,t) \end{cases} \] 则增量场 \(u\) 和 \(\phi^1\) 满足的方程为： \[ K_{K\alpha,K} + \rho_0f^{\prime}_{\alpha} = \rho_0\ddot{u}_{\alpha} \] 其中 \(f^{\prime}_{\alpha}\) 和 \(\rho^{\prime}_E\) 由下式确定： \[ \begin{cases} f^{\prime}_{\alpha}=\delta_{i\alpha}(f_{\alpha}+f^{\prime\prime}_{\alpha})\\ \rho^{\prime}_E=\rho_E+\rho^{\prime\prime}_E \end{cases} \] 增量应力张量和电位移矢量由以下本构关系给出： \[ \begin{cases} \Sigma_{Ly} = \Gamma_{Ly\alpha\beta}u_{\alpha,\beta} + \Gamma_{MLy}\phi^1_{,M}\\ \Theta_{XK}=R_{KLy}u_{y,L}+L_{KL}\phi^1_{,L} \end{cases} \] 其中 \(\Gamma_{K\alpha Ly}\)、\(R_{KLy}\) 和 \(L_{KL}\) 称为有效或表观弹性、压电和介电常数，它们取决于初始变形 \(x_{\alpha}(X)\) 和电势 \(\phi^{\circ}(X)\)。 增量场 \(u\) 和 \(\phi^1\) 的边值问题由以下方程和边界条件组成： \[ \begin{cases} K_{K\alpha,K} + \rho_0f^{\prime}_{\alpha} = \rho_0\ddot{u}_{\alpha} & \text{在 } V 内\\ \Theta_{K,K}=\rho^{\prime}_E & \text{在 } V 内\\ \Sigma_{K\alpha}=R_{KLy}u_{y,L}+L_{KL}\phi^1_{,L} & \text{在 } V 内\\ u_{\alpha} = \bar{u}_{\alpha} & \text{在 } S_u 上\\ \phi^1=\bar{\phi} & \text{在 } S_{\phi} 上\\ K_{K\alpha}n_i=T^{\prime}_i & \text{在 } S_T 上\\ \Theta_{XK}N_K=-\sigma^{\prime}_E & \text{在 } S_D 上 \end{cases} \] ### 1.3 小偏置情况 在许多应用中，偏置变形和场也是无限小的。此时，通常只需考虑它们对增量场的一阶影响。可引入初始变形的小位移矢量 \(w\)，表示为 \(x^{\alpha}=\delta_{\alpha K}X_K + w_{\alpha}\)。忽略 \(w\) 和 \(\phi^{\circ}\) 梯度的二次项后，有效材料常数具有以下形式： \[ \begin{cases} \Gamma_{K\alpha Ly}=C_{K\alpha Ly} + \Delta C_{K\alpha Ly}\\ R_{KLy}=e_{KLy} + \Delta e_{KLy}\\ L_{KL}=E_{KL} + \Delta E_{KL} \end{cases} \] 其中： \[ \begin{cases} \Delta C_{K\alpha Ly}=C_{KL}\delta_{\alpha\gamma} + C_{KCD}\omega_{N,y}\omega_{,N} + C_{KNLy}w_{\alpha,N} + C_{KCCLyAB}\epsilon_{AB} + \Delta A_{K\alpha Ly}\epsilon_A\\ \Delta e_{KLy}=-e_{KLM}\omega_{y,M} - \Delta e_{KLyAB}\epsilon_{AB} + \Delta A_{KLy}\epsilon_A + \epsilon_0(E^{\circ}_K\delta_{L\gamma}-E^{\circ}_L\delta_{K\gamma}-E^{\circ}_M\delta_{M\gamma}\delta_{KL})\\ \Delta E_{KL}=-\Delta E_{KLAB}\epsilon_{AB} + \Delta X_{KLA}\epsilon_A + \epsilon_0(\omega_{MM}\delta_{KL}-2\epsilon_{KL}) \end{cases} \] ### 1.4 小偏置引起的频率扰动 对于许多应用，我们关注偏置场对电弹性体谐振频率的影响。考虑小偏置场下电弹性体自由振动的特征值问题： \[ \begin{cases} - [(C_{L\gamma Ma} + \Delta C_{L\gamma Ma})u_{a,M} + (e_{ML\gamma} + \Delta e_{ML\gamma})\phi^1_{M}],L = \rho\omega^2u_{\gamma}\\ [(R_{K\gamma L} + \Delta R_{K\gamma L})u_{\gamma,L} - (L_{KL} + \Delta L_{KL})\phi^1_{,L}],K = 0 \end{cases} \] 其中 \(\omega\) 和 \(u_{\alpha}\) 分别是存在偏置场时的谐振频率和相应模式，可称为扰动频率和模式。一阶扰动分析表明： \[ \Delta\omega=\frac{1}{2\omega_0}\frac{\int_V[C_{L\gamma Ma}u_{\gamma,L}u_{a,M} + 2e_{ML\gamma}\phi^1_{M}u_{\gamma,L}-e_{ML}\phi^1_{,M}\phi^1_{,L}]dV}{\int_V\rho_0u_{\alpha}u_{\alpha}dV} \] 其中 \(\Delta\omega = \omega - \omega_0\)，\(\omega_0\)、\(U_{\alpha}\) 和 \(\Phi\) 是无偏置场时的频率和模式，即未扰动频率和模式。 ## 2. 弱非线性的立方理论 立方理论考虑了位移和电势梯度及其乘积直至三次方的所有项的影响，是一种用于相对弱非线性的近似理论，可通过对本章第一节中的非线性理论进行展开和截断得到。得到的方程如下： \[ \begin{cases} T_{IJ}=C_{IJMNS}u_{N,S} + e_{ILM}\phi_{,A} + C_{UK,A}u_{K,B} + C_{UK,A}u_{R}u_{AB} + C_{1LKAB}u_{M,K}u_{A,B} + C_{3LMABCD}u_{A,B}u_{C,D} + e_{ALK}u_{M,K}\phi_{,A} - \frac{1}{2}u_{B,C}\phi_{,A} - \frac{1}{2}e_{ABLM}\phi_{,A}\phi_{,B} + \frac{1}{2}C_{UM,R}u_{K,A}u_{K,B} + \frac{1}{2}C_{2LRAB}u_{A,B}u_{K,C}u_{K,D} + \frac{1}{6}C_{3IMABCD}u_{A,B}u_{C,D}u_{E,F} + \frac{1}{6}C_{4LMABCDEF}u_{A,B}u_{C,D}u_{E,F}u_{G,H} - \frac{1}{2}u_{B,C}u_{D,E}\phi_{,A} - \frac{1}{2}e_{ABLK}u_{M,K}\phi_{,A}\phi_{,B}\\ \Theta_{L}=e_{LBC}u_{B,C} + \epsilon_{L}\phi_{,F} + \frac{1}{2}e_{LBC}u_{K,B}u_{K,C} - \frac{1}{2}u_{B,C}u_{D,E} - e_{ALCD}u_{C,D}\phi_{,A} + \frac{1}{6}e_{LBCDE}u_{B,C}u_{D,E}u_{F,G} + \frac{1}{6}e_{2LBCDEFG}u_{B,C}u_{D,E}u_{F,G}u_{H,I} - e_{ALCD}u_{K,C}u_{K,D}\phi_{,A} + \frac{1}{2}e_{ALCDEF}u_{C,D}u_{E,F}\phi_{,A}\phi_{,B} - \frac{1}{3}e_{3AM,DE}\phi_{,A}\phi_{,B}\phi_{,C}\\ M_{LJ}=\epsilon_0(\phi_{,L}\phi_{,J}-\phi_{,K}\phi_{,K}\delta_{LJ}-\phi_{,K}\phi_{M}u_{L,K} - \phi_{,K}\phi_{,R}u_{K,M} + \phi_{,K}\phi_{,R}u_{R,K}\delta_{LJ} + \frac{1}{2}\phi_{,K}\phi_{,K}u_{LJ} - \phi_{,R}\phi_{,R}u_{K,K}\delta_{IJ})\\ \epsilon_0J C_{A}E_{K}=\epsilon_0(-\phi_{,L}+\phi_{,K}u_{L,K}-\phi_{,L}u_{K,K}+\phi_{,K}u_{K,L}-\frac{1}{2}\gamma_{M}u_{L,K}u_{K,M}+\gamma_{K}u_{M,M}u_{L,K}-\frac{1}{2}\gamma_{L}u_{K,K}u_{M,M} + \frac{1}{2}\phi_{,L}u_{KM}u_{,K}-\phi_{,M}u_{L,K}u_{,K}+\phi_{M}u_{M,L}u_{K,K} - \phi_{M}u_{M,K}u_{K,L}) \end{cases} \] 当机械变形相对较大且电场较弱时，可忽略所有电非线性。此时，能量密度可表示为： \[ \rho_0\Psi = -\frac{1}{2}C_{ABCD}\epsilon_{AB}\epsilon_{CD} - e_{ABC}\epsilon_{A}\epsilon_{BC} - \frac{1}{2}X_{AB}\epsilon_{A}\epsilon_{B} + \frac{1}{6}C_{ABCDEF}\epsilon_{AB}\epsilon_{CD}\epsilon_{EF} + \frac{1}{24}C_{ABCDEFGH}\epsilon_{AB}\epsilon_{CD}\epsilon_{EF}\epsilon_{GH} \] 保持电势梯度的线性项和位移梯度的三次项，可得： \[ \begin{cases} T_{LM}=C_{LMRS}u_{R,S} + e_{KLM}\phi_{,K} + C_{LMRSKN}u_{R,S}u_{K,N} + C_{LMRSKNIJ}u_{R,S}u_{K,N}u_{I,J}\\ \Theta_{K}=e_{KRS}u_{R,S} - E_{KL}\phi_{,L}\\ \Delta_{LMRSKN}=\frac{1}{2}(C_{LMRSKN} + C_{LMNS}\delta_{KR} + C_{LNRS}\delta_{KM})\\ \Delta_{LMRSKNIJ}=\frac{1}{2}(C_{LMRSKNIJ} + C_{LMKNSJ}\delta_{RI} + C_{LNSJ}\delta_{MK}\delta_{R1} + C_{LNRS}\delta_{MK}) \end{cases} \] ## 3. 板谐振器的厚度剪切模式 板的厚度模式是无限大板的模式，不依赖于板的面内坐标，仅沿板厚度方向变化。平行于板表面的平面内的材料粒子具有相同的运动，可分为厚度剪切和厚度拉伸模式，取决于材料粒子是平行还是垂直于板表面运动。厚度模式是高频模式，其频率由板的最小尺寸——厚度决定，这与传统结构工程中频率强烈依赖于板长度和/或宽度的低频拉伸和弯曲模式不同。这里主要研究厚度剪切模式，它是压电谐振器最常见的工作模式。 ### 3.1 静态厚度剪切变形 #### 3.1.1 机械载荷作用下的板 考虑一个具有单斜对称性的无限大板，其主表面受到切向牵引力 \(p\) 作用且带有电极。分别考虑电极短路和开路两种情况。 - **控制方程**：边界值问题为： \[ \begin{cases} T_{ij,j}=0\\ D_{i,i}=0\\ |x_2|\lt h\\ T_{ij}=C_{ijkl}u_{k,l} - e_{ijk}E_k\\ D_{i}=e_{ik}u_{k,i} + \epsilon_{ik}E_k\\ |x_2|\lt h\\ S_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i})\\ E_{i}=-\phi_{,i}\\ |x_2|\lt h\\ T_{ij}n_j = p\delta_{2i}\\ x_2=\pm h\\ \phi(x_2 = h) = \phi(x_2 = -h) & \text{电极短路}\\ D_2(x_2 = \pm h) = 0 & \text{电极开路} \end{cases} \] 考虑位移和电势场的形式为 \(u_1 = u_1(x_2)\)，\(u_2 = u_3 = 0\)，\(\phi = \phi(x_2)\)。则应变、电场、应力和电位移的非零分量为： \[ \begin{cases} S_6 = u_{1,2}\\ E_2 = -\phi_{,2}\\ T_{31}=C_{56}u_{1,2} + e_{25}\phi_{,2}\\ T_{21}=C_{66}u_{1,2} + e_{26}\phi_{,2}\\ D_2 = e_{26}u_{1,2} - \epsilon_{22}\phi_{,2}\\ D_3 = e_{36}u_{1,2} - \epsilon_{23}\phi_{,2} \end{cases} \] \(u_1\) 和 \(\phi\) 需满足的方程为： \[ \begin{cases} T_{21,2}=C_{66}u_{1,22} + e_{26}\phi_{,22} = 0\\ D_{2,2}=e_{26}u_{1,22} - \epsilon_{22}\phi_{,22} = 0 \end{cases} \] 除非 \(k_{26}^2=\frac{e_{26}^2}{\epsilon_{22}C_{66}} = 1\)（通常 \(k_{26}^2\lt 1\)，不考虑此情况），否则 \(u_{1,22} = 0\)，\(\phi_{,22} = 0\)，这意味着所有应变、应力、电场和电位移分量均为常数，机械位移和电势是 \(x_2\) 的线性函数。 - **短路电极情况**：电极短路时，两电极电势相等，由于 \(E_2\) 为常数，所以 \(E_2 = 0\)。机械边界条件要求 \(T_{21} = p\)，则 \(S_6 = u_{1,2}=\frac{p}{C_{66}}\)。\(p\) 对板每单位体积所做的功为 \(W_1=\frac{1}{2}T_6S_6=\frac{p^2}{2C_{66}}\)。 - **开路电极情况**：开路电极时，边界条件要求 \(T_{21}=C_{66}u_{1,2} + e_{26}\phi_{,2} = p\)，\(D_2 = e_{26}u_{1,2} - \epsilon_{22}\phi_{,2} = 0\)，解得 \(S_6 = u_{1,2}=\frac{p}{C_{66}(1 + k_{26}^2)}\)。\(p\) 对板每单位体积所做的功为 \(W_2=\frac{1}{2}T_6S_6=\frac{p^2}{2C_{66}(1 + k_{26}^2)}\)。显然，\(W_2\lt W_1\)。 - **机电耦合系数**：单斜板厚度剪切变形的机电耦合系数为 \(k_{26}^2=\frac{W_1 - W_2}{W_1}=\frac{e_{26}^2}{\epsilon_{22}C_{66}}\)。 #### 3.1.2 电载荷作用下的板 考虑相同的单斜晶体板，在板厚度方向施加电压 \(V\)。考虑两种机械边界条件：表面无牵引力和表面固定。 - **控制方程**：边界值问题为： \[ \begin{cases} T_{ij,j}=0\\ D_{i,i}=0\\ |x_2|\lt h\\ T_{ij}=C_{ijkl}u_{k,l} - e_{ijk}E_k\\ D_{i}=e_{ik}u_{k,i} + \epsilon_{ik}E_k\\ |x_2|\lt h\\ S_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i})\\ E_{i}=-\phi_{,i}\\ \phi = \pm\frac{V}{2}\\ x_2=\pm h\\ T_{ij}n_j = 0 & \text{表面无牵引力}\\ u_j = 0 & \text{表面固定} \end{cases} \] 同样考虑解的形式为 \(u_1 = u_1(x_2)\)，\(u_2 = u_3 = 0\)，\(\phi = \phi(x_2)\)。所有应变、应力、电场和电位移分量均为常数，机械位移和电势是 \(x_2\) 的线性函数，且 \(E_2 = \frac{V}{2h}\)。 - **自由表面情况**：表面无牵引力时，\(T_{21}=C_{66}u_{1,2} + e_{26}\phi_{,2} = 0\)，解得 \(S_6 = u_{1,2}=-\frac{e_{26}V}{C_{66}2h}\)，\(T_{31}=C_{56}u_{1,2} + e_{25}\frac{V}{2h}\)，\(D_2=(1 + k_{26}^2)\epsilon_{22}\frac{V}{2h}\)。电极上每单位面积的自由电荷为 \(\sigma_{fe}=-D_2=(1 + k_{26}^2)\epsilon_{22}\frac{V}{2h}\)，板每单位面积的电容为 \(C=\frac{\sigma_{fe}}{V}=(1 + k_{26}^2)\frac{\epsilon_{22}}{2h}\)。板电容器每单位面积储存的电能为 \(W_1=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}(1 + k_{26}^2)\epsilon_{22}\frac{V^2}{2h}\)。 - **固定表面情况**：表面固定时，\(u_1 = 0\)，\(S_6 = u_{1,2}=0\)，\(T_{31}=e_{25}\frac{V}{2h}\)，\(D_2=\epsilon_{22}\frac{V}{2h}\)。电极上每单位面积的自由电荷为 \(\sigma_{fe}=-D_2=\epsilon_{22}\frac{V}{2h}\)，板每单位面积的电容为 \(C=\frac{\sigma_{fe}}{V}=\frac{\epsilon_{22}}{2h}\)。板电容器每单位面积储存的电能为 \(W_2=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}\epsilon_{22}\frac{V^2}{2h}\)。 - **机电耦合系数**：机电耦合系数为 \(k_{26}^2=\frac{W_1 - W_2}{W_1}=\frac{e_{26}^2}{\epsilon_{22}C_{66}}\)。对于旋转 \(Y\) 切割的石英板（\(\theta = 32.5^{\circ}\)），即 AT 切割板，\(k_{26}^2 = 0.088\)，是一个很小的数。石英常用于电信信号处理或传感，而非功率处理，因此小的机电耦合系数通常就足够了。 ### 3.2 非线性厚度剪切变形 考虑板的非线性静态厚度变形，板底部固定以消除刚体位移，顶部施加均匀表面牵引力 \(t_i\)。板的顶部和底部表面带有电极，电极可短路或开路。 #### 3.2.1 一般分析 设位移场为 \(u = y - X\)。在纯厚度变形中，平衡方程和电荷方程可由以下线性位移和电势满足，它们产生恒定的应力和电位移： \[ \begin{cases} u_1 = a_1X_2\\ u_2 = a_2X_2\\ u_3 = a_3X_2\\ \phi = bX_2 \end{cases} \] 其中 \(a_i\) 和 \(b\) 为待定常数。底部的机械边界条件已由上述方程满足，\(a_i\) 和 \(b\) 由顶部的机械边界条件和电气边界条件确定。 #### 3.2.2 短路电极情况 电极短路时，\(b = 0\)，无电场和相关的压电硬化效应。\(a_i\) 由 \(X_2 = h\) 处的牵引力边界条件 \(K_{Lj}N_L = K_{2j} = t_j\) 确定，这是关于 \(a_i\) 的三个非线性方程，可解出 \(a_i\) 关于 \(t_i\) 的表达式。设 \(t_j\) 从 0 缓慢增加到最终值 \(T_j\)，\(t_j\) 每单位面积所做的机械功为 \(W_1=\int_{0}^{T_j}[K_{2j}du_j]_{X_2 = h}\)。 #### 3.2.3 开路电极情况 电极开路时，\(a_i\) 和 \(b\) 由边界条件 \(K_{2j} = t_j\)，\(\Theta_2 = 0\) 确定。由于存在电场和压电硬化效应，材料通常显得更硬，位移场更小，\(W_2\lt W_1\)。 #### 3.2.4 机电耦合系数 机电耦合系数定义为 \(k^2=\frac{W_1 - W_2}{W_1}\)。 #### 3.2.5 示例 以 AT 切割石英板在 \(X_1\) 方向的厚度剪切变形为例，上表面边界载荷为 \(K_{21} = t\)，\(u_2 = u_3 = 0\)，\(X_2 = h\)。施加的牵引力 \(t\) 会引起 \(X_1\) 方向的厚度剪切，\(K_{21}\) 为相应的剪切应力。由于各向异性和/或非线性，可能存在 \(K_{23}\) 和 \(K_{22}\)，它们用于维持位移边界条件。非线性剪切引起的法向应力 \(K_{22}\) 的存在称为坡印廷效应。寻找以下形式的解： \[ \begin{cases} u_1 = aX_2\\ u_2 = u_3 = 0\\ \phi = bX_2 \end{cases} \] 石英的压电耦合很弱，在机械载荷下，非线性主要是机械的。对于弱电场下的立方非线性效应，相关的应力分量和电位移分量为： \[ \begin{cases} K_{21}=C_{66}u_{1,2} + e_{26}\phi_{,2} + \gamma(u_{1,2})^2 = ca + eb + \gamma a^2\\ \Theta_2 = e_{26}u_{1,2} - \epsilon_{22}\phi_{,2} = ea - \epsilon b \end{cases} \] 其中 \(c = C_{66}\)，\(e = e_{26}\)，\(\epsilon = \epsilon_{22}\)，\(\gamma=\frac{1}{2}C_{22} + C_{266} + \frac{1}{2}C_{6666}=13.7\times10^{11}N/m^2\)。 - **短路电极情况**：电极短路时，\(b = 0\)，\(ca + \gamma a^3 = t\)。由于非线性项是线性项的小修正，解可写为线性解和小扰动 \(\Delta a\) 的和：\(a=\frac{t}{c}(1 - \Delta a)\)。代入方程并保留 \(\Delta a\) 的线性项，可得到关于 \(\Delta a\) 的线性方程，解得 \(a = f_1(t)=\frac{t}{c}(1 - \frac{\gamma t^2}{c^2(1 + 3\frac{\gamma t^2}{c^2})})\)。当 \(t\) 从 0 增加到最终值 \(T\) 时，记 \(A = f_1(T)\)，\(t\) 所做的功为 \(W_1 = h(\frac{1}{2}cA^2 + \frac{1}{4}\gamma A^4)\)。 - **开路电极情况**：电极开路时，边界条件要求 \(ca + eb + \gamma a^3 = t\)，\(ea - \epsilon b = 0\)，消去 \(b\) 后得到关于 \(a\) 的方程，解得 \(a = f_2(t)\)。当 \(t\) 达到最终值 \(T\) 时，记 \(A_2 = f_2(T)\)，\(t\) 所做的功为 \(W_2 = h(\frac{1}{2}cA_2^2 + \frac{1}{4}\gamma A_2^4)\)。 - **机电耦合系数**：耦合系数为 \(k^2=\frac{W_1 - W_2}{W_1}\)。由于 \(\gamma\) 为正，表示非线性硬化效应，\(W_1\) 的应变比 \(W_2\) 大，受非线性硬化影响更大，因此预计该非线性效应会降低耦合系数。 综上所述，对压电装置在不同状态下的特性进行了深入分析，包括线性和非线性情况，以及板谐振器的厚度剪切模式。这些研究对于理解压电材料的性能和设计高性能的压电装置具有重要意义。通过对不同边界条件和载荷情况的讨论，揭示了机电耦合系数等关键参数的变化规律，为实际应用提供了理论依据。 ## 4. 总结与展望 ### 4.1 研究成果总结 - **线性理论方面**：建立了有限偏置上叠加小场的线性理论，详细分析了电弹性体在参考、初始和当前三种状态下的特性。通过引入增量场的概念，得到了增量场的方程和边值问题，明确了有效材料常数与初始变形和电势的关系。在小偏置情况下，简化了有效材料常数的表达式，并分析了小偏置引起的频率扰动，将复杂的有偏置振动特征值问题转化为无偏置振动和偏置场两个相对简单的问题。 - **立方理论方面**：提出了用于弱非线性的立方理论，考虑了位移和电势梯度及其乘积直至三次方的所有项的影响。在机械变形相对较大且电场较弱的特殊情况下，进一步简化了相关方程，为处理弱非线性问题提供了有效的近似方法。 - **板谐振器厚度剪切模式方面**：对板谐振器的厚度剪切模式进行了全面研究，包括静态和非线性情况。在静态厚度剪切变形中，分别分析了机械载荷和电载荷作用下，电极短路和开路、表面自由和固定等不同边界条件下板的响应，计算了机电耦合系数。在非线性厚度剪切变形中，通过一般分析和具体示例，研究了非线性效应对机电耦合系数的影响，发现非线性硬化效应会降低耦合系数。 ### 4.2 研究意义 这些研究成果对于压电材料和压电装置的设计、优化和应用具有重要意义。例如，在压电谐振器的设计中，通过对厚度剪切模式的研究，可以准确预测其谐振频率和机电耦合系数，从而优化谐振器的性能。对于弱非线性问题的处理，立方理论提供了一种有效的近似方法，有助于更准确地模拟压电装置在实际工作中的行为。此外，机电耦合系数的研究对于评估压电材料的能量转换能力至关重要，为选择合适的压电材料用于不同应用场景提供了理论依据。 ### 4.3 未来研究方向 虽然已经取得了一定的研究成果，但仍有许多方面值得进一步深入研究。 - **多物理场耦合问题**：目前的研究主要集中在机械场和电场的耦合，未来可以考虑引入热场、磁场等其他物理场，研究多物理场耦合下压电装置的性能。例如，在高温环境下，压电材料的性能可能会发生变化，热-电-机械多场耦合研究可以更准确地模拟这种情况下压电装置的行为。 - **复杂边界条件和几何形状**：实际的压电装置可能具有复杂的边界条件和几何形状，如不规则的外形、非均匀的材料分布等。未来的研究可以针对这些复杂情况进行深入分析，开发更精确的数值模拟方法，以满足实际工程的需求。 - **非线性效应的深入研究**：虽然立方理论可以处理弱非线性问题，但对于强非线性情况，还需要进一步探索更有效的理论和方法。例如，研究高阶非线性项的影响，以及如何通过材料设计和结构优化来控制非线性效应，提高压电装置的性能和稳定性。 - **应用拓展**：随着科技的不断发展，压电装置的应用领域越来越广泛，如传感器、执行器、能量收集等。未来可以进一步探索压电装置在这些领域的新应用，结合其他先进技术，开发出具有更高性能和功能的压电产品。 ### 4.4 研究流程回顾 为了更清晰地展示整个研究过程，下面给出研究流程的 mermaid 流程图： ```mermaid graph LR A[线性理论研究] --> B[电弹性体三种状态分析] B --> C[增量场方程推导] C --> D[小偏置情况处理] D --> E[频率扰动分析] A --> F[立方理论研究] F --> G[弱非线性方程推导] G --> H[特殊情况简化] A --> I[板谐振器厚度剪切模式研究] I --> J[静态厚度剪切变形分析] J --> K[机械载荷情况] J --> L[电载荷情况] I --> M[非线性厚度剪切变形分析] M --> N[一般分析] M --> O[具体示例研究] E & H & K & L & O --> P[总结与展望] ``` ### 4.5 关键参数对比 为了更直观地比较不同情况下的关键参数，下面给出一个表格： |研究内容|关键参数|短路电极情况|开路电极情况|自由表面情况|固定表面情况| | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | |静态厚度剪切变形（机械载荷）|机电耦合系数|\(k_{26}^2=\frac{e_{26}^2}{\epsilon_{22}C_{66}}\)|\(k_{26}^2=\frac{e_{26}^2}{\epsilon_{22}C_{66}}\)||| |静态厚度剪切变形（机械载荷）|每单位体积做功|\(W_1=\frac{p^2}{2C_{66}}\)|\(W_2=\frac{p^2}{2C_{66}(1 + k_{26}^2)}\)||| |静态厚度剪切变形（电载荷）|每单位面积电容|\((1 + k_{26}^2)\frac{\epsilon_{22}}{2h}\)|\(\frac{\epsilon_{22}}{2h}\)|\((1 + k_{26}^2)\frac{\epsilon_{22}}{2h}\)|\(\frac{\epsilon_{22}}{2h}\)| |静态厚度剪切变形（电载荷）|每单位面积电能|\(\frac{1}{2}(1 + k_{26}^2)\epsilon_{22}\frac{V^2}{2h}\)|\(\frac{1}{2}\epsilon_{22}\frac{V^2}{2h}\)|\(\frac{1}{2}(1 + k_{26}^2)\epsilon_{22}\frac{V^2}{2h}\)|\(\frac{1}{2}\epsilon_{22}\frac{V^2}{2h}\)| |非线性厚度剪切变形|机电耦合系数|\(k^2=\frac{W_1 - W_2}{W_1}\)|\(k^2=\frac{W_1 - W_2}{W_1}\)||| 通过以上总结和展望，我们对压电装置的研究有了更全面的认识。未来的研究将在现有基础上不断拓展和深入，为压电技术的发展提供更有力的支持。