通用度量下带离群点的分布式k-均值算法

### 通用度量下带离群点的分布式 k - 均值算法 在大数据时代，数据量的急剧增长使得传统的顺序聚类策略难以应对大规模数据处理的需求。本文聚焦于通用度量空间中带离群点的离散 k - 均值问题，提出了一种可扩展的分布式 MapReduce 算法。 #### 1. 问题背景与相关工作 传统的 k - 均值算法旨在最小化所有点到其最近中心的平方距离之和。然而，由于目标函数涉及距离的平方，离群点（即与其他点距离较远的点）可能会严重影响最优中心的选择，导致算法结果出现偏差。在大规模数据集中，离群点的存在是不可避免的，它们可能是数据收集过程中的噪声测量或错误信息。 为了解决这个问题，研究者提出了带 z 个离群点的 k - 均值问题。在计算目标函数时，该问题会排除 z 个距离中心最远的点的平方距离，其中 z 是一个表示可容忍噪声水平的额外输入参数。 目前，关于中心聚类问题的顺序策略已有大量研究，包括带和不带离群点的情况。对于不带离群点的离散 k - 均值问题，在通用度量下，目前最好的顺序算法包括确定性的 (6.357 + ε) - 近似算法和适用于常数倍增维空间的随机 PTAS。而对于带离群点的 k - 均值问题，也有许多顺序算法被提出，如随机局部搜索策略和基于 LP 的方法。 在分布式处理方面，相关研究相对较少。已有的分布式算法包括一个 3 轮的 MapReduce 算法用于不带离群点的 k - 均值问题，以及一些针对带离群点问题的算法，但这些算法在性能和适用性上仍有改进空间。 #### 2. 本文贡献 本文提出了一种基于核心集（coreset）的分布式 MapReduce 算法，用于解决通用度量空间中带 z 个离群点的离散 k - 均值问题。该算法的主要步骤如下： 1. **核心集构建**：从输入数据集中分布式地计算一个合适的加权核心集 T，其中每个核心集点代表一定数量的输入点，其权重等于所代表的输入点的数量。 2. **最终解计算**：在核心集 T 上运行一个 α - 近似的顺序算法，以获得最终的聚类结果。 该算法具有以下优点： - **简单性**：核心集的构建不需要多次调用复杂耗时的顺序算法，避免了如某些现有算法中的复杂操作。 - **通用性**：能够利用任何适用于加权情况的顺序算法（双准则或非双准则），在小型核心集上运行，且精度损失极小。 此外，该算法的近似比为 α + O(γ)，其中 γ 是用户提供的精度参数，可以任意小。算法需要 3 轮计算，每个工作节点的本地内存需求为 O(√|P|(ρk + τz)(c/γ)²D log²|P|)，对于合理的参数配置，尤其是低倍增维的情况，本地空间需求远小于输入数据大小。 #### 3. 预备知识 在深入了解算法之前，我们需要明确一些基本概念和符号。 设 P 是一个来自度量空间的点集，距离函数为 d(·, ·)。对于任意点 p ∈ P 和子集 S ⊆ P，定义 p 到 S 的距离为 d(p, S) = minq∈S d(p, q)。离散 k - 均值问题要求在给定 P 和整数 k < |P| 的情况下，确定一个包含 k 个中心的集合 S ⊂ P，使得成本函数 cost(P, S) = ∑p∈P d(p, S)² 最小。 带 z 个离群点的 k - 均值问题则在此基础上，要求在给定额外整数参数 z < |P| 的情况下，找到一个包含 k 个中心的集合 S ⊂ P，使得成本函数 cost(P \ outz(P, S), S) 最小，其中 outz(P, S) 表示 P 中距离 S 最远的 z 个点的集合。 在加权变体中，每个点 p ∈ P 都有一个正整数权重 wp。加权 k - 均值问题和带 z 个离群点的加权 k - 均值问题分别要求确定一个包含 k 个中心的集合 S ⊂ P，使得相应的加权成本函数最小。 本文还引入了倍增维的概念，它是对数据集 P 的维度的一种度量。倍增维 D 定义为：对于任意点 p ∈ P 和半径 r > 0，以 p 为中心、半径为 r 的球可以被包含在最多 2D 个以 P 中合适点为中心、半径为 r/2 的球的并集中。 算法的计算模型采用 MapReduce 模型，该模型是大数据分布式处理的常用模型之一。在 MapReduce 算法中，计算过程分为多个轮次，每一轮中，首先对输入的键值对集合应用一个映射函数，然后对映射结果应用一个归约函数。算法的性能指标包括轮数和每个工作节点的最大本地内存需求。 #### 4. 核心集构建 核心集构建是本文算法的关键步骤，它的目标是从输入数据集中提取一个合适的加权核心集，使得该核心集能够在保证一定精度的前提下，代表整个输入数据集。 ##### 4.1 核心集的性质定义 为了