直觉模糊集与设备故障预测的相似性度量改进方法

### 直觉模糊集与设备故障预测的相似性度量改进方法 在当今复杂的科学研究和实际应用场景中，直觉模糊集（IFSs）的相似性度量以及设备故障预测的准确性提升都是重要的研究方向。本文将深入探讨直觉模糊集的改进余弦相似性度量方法，以及基于灰色GM(1,1)模型的设备故障预测准确性提升方法。 #### 直觉模糊集的相似性度量 直觉模糊集是对模糊集的一种扩展，它不仅考虑了元素的隶属度，还考虑了非隶属度和犹豫度。在直觉模糊集的研究中，相似性度量是一个关键问题，它用于衡量两个直觉模糊集之间的相似程度。 ##### 已有相似性度量方法 - **基于Hausdorff距离的相似性度量**：Hung和Yang提出了基于Hausdorff距离的直觉模糊集相似性度量方法。他们首先定义了直觉模糊集的区间表示，然后计算了这些区间之间的Hausdorff距离，进而得到了两个直觉模糊集之间的距离。在此基础上，他们提出了三种相似性度量公式： - \(S_{HY}^1(A,B)=1 - d_H(A,B)\) - \(S_{HY}^2(A,B)=\frac{e - e^{-d_H(A,B)}}{e - 1}\) - \(S_{HY}^3(A,B)=\frac{1 - d_H(A,B)}{1 + d_H(A,B)}\) - **Ye的余弦相似性度量**：Ye通过将直觉模糊集中的隶属度和非隶属度信息表示为向量，基于余弦概念提出了一种余弦相似性度量方法： \(C_{IFS}(A,B)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\frac{u_A(x_i)u_B(x_i)+v_A(x_i)v_B(x_i)}{\sqrt{(u_A(x_i))^2+(v_A(x_i))^2}\sqrt{(u_B(x_i))^2+(v_B(x_i))^2}}\) Ye证明了该度量方法满足一些条件，但在实际应用中，它存在一些不足之处。例如，当给定\(A=\{x,0.1,0.1\}\)和\(B=\{x,0.4,0.4\}\)时，\(C_{IFS}(A,B)=1\)，这显然不符合相似性度量的条件（S2）；当给定\(A=\{x,0.0,0.1\}\)和\(B=\{x,0.1,0.0\}\)时，\(C_{IFS}(A,B)=0\)，这也不合理。 ##### 改进的余弦相似性度量 为了克服Ye的余弦相似性度量的不足，我们提出了一种改进的余弦相似性度量方法。该方法不仅考虑了隶属度和非隶属度之间的信息，还考虑了中间信息和对立信息。 首先，我们定义了两个新的度量项： \(C_{IFS}^*(A,B)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\frac{(\frac{u_A(x_i)+1 - v_A(x_i)}{2})(\frac{u_B(x_i)+1 - v_B(x_i)}{2})+v_A(x_i)v_B(x_i)}{\sqrt{(\frac{u_A(x_i)+1 - v_A(x_i)}{2})^2+(v_A(x_i))^2}\sqrt{(\frac{u_B(x_i)+1 - v_B(x_i)}{2})^2+(v_B(x_i))^2}}\) \(C_{IFS}^{**}(A,B)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\frac{(1 - u_A(x_i))(1 - u_B(x_i))+(1 - v_A(x_i))(1 - v_B(x_i))}{\sqrt{(1 - u_A(x_i))^2+(1 - v_A(x_i))^2}\sqrt{(1 - u_B(x_i))^2+(1 - v_B(x_i))^2}}\) 然后，我们提出了新的相似性度量公式： \(S_{IFS}(A,B)=\frac{1}{3}(C_{IFS}(A,B)+C_{IFS}^*(A,B)+C_{IFS}^{**}(A,B))\) 我们证明了\(S_{IFS}(A,B)\)满足相似性度量的所有条件，包括： - **对称性**：\(S_{IFS}(A,B)=S_{IFS}(B,A)\) - **自反性**：\(S_{IFS}(A,B)=1\)当且仅当\(A = B\) - **单调性**：如果\(C\subseteq B\subseteq A\)，则\(S_{IFS}(A,C)\leq S_{IFS}(A,B)\)且\(S_{IFS}(C,B)\leq S_{IFS}(C,A)\) - **互补性**：\(S_{IFS}(A,A^c)=0\)当且仅当\(A\)是一个清晰集 ##### 示例比较 为了验证改进的余弦相似性度量方法的有效性，我们使用了Ye文中的六个数据集进行比较。结果表明，Ye的余弦相似性度量方法在某些情况下不能满足相似性度量的条件，而我们的改进方法能够更准确地反映两个直觉模糊集之间的相似程度。 | 数据集 | \(C_S\) | \(H_S\) | \(L_S\) | \(O_S\) | \(DC_S\) | \(HB_S\) | \(p_{eS}\) | \(p_{sS}\) | \(S_{HY}^1\) | \(S_{HY}^2\) | \(S_{HY}^3\) | \(C_{IFS}\) | \(S_{IFS}\) | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | \(X_1\) | 1 | 0.9 | 0.95 | 0.9 | 1 | 0.9 | 0.9 | 0.95 | 0.9 | 0.85 | 0.82 | 1 | 0.997 | | \(X_2\) | 0.9 | 0.9 | 0.9 | 0.9 | 0.