量子系统中的密度算子与纯态、混合态解析

# 量子系统中的密度算子与纯态、混合态解析 ## 1. 自旋分量的期望值 在量子系统中，不同集合下自旋分量的期望值有所不同。对于集合 (II)，自旋分量的期望值为： \[ \langle\sigma_1\rangle = \langle\sigma_2\rangle = \langle\sigma_3\rangle = 0 \] 对于集合 (III)，则有： \[ \langle\sigma_1\rangle = 1, \quad \langle\sigma_2\rangle = \langle\sigma_3\rangle = 0 \] 对于处于 $\psi^-_o$ 态的双量子比特系统，可证明： \[ \langle\psi^-_o, (\sigma_k \otimes 1) \psi^-_o\rangle = 0, \quad k = 1, 2, 3 \] 这表明量子比特 A 沿任何轴的自旋期望值都为零。同样的结果对于其他贝尔态也成立，这证明了集合 (I) 的上述性质。 一般来说，对于处于纠缠态的量子比特对 AB 集合，量子比特 A 的集合不能用通常意义上的态矢量来描述，而需要用态矢量的统计混合来描述。用态矢量描述子系统已不再适用，理论需要推广以适应混合态，这将在后续内容中进一步探讨。 纠缠态所描述的远不止子系统状态的统计混合，还包含子系统之间的关联信息。 ## 2. 子系统可观测量的期望值 为了建立描述子系统状态的理论，需要从复合系统的给定状态中提取子系统的信息。考虑子系统 A 的可观测量 $S \otimes 1$，假设 $S$ 是系统 A 的希尔伯特空间中的有界算子。 设 $\{\psi^A_i\}$ 是 $H_A$ 中的一组正交基，$\{\psi^B_j\}$ 是 $H_B$ 中的一组正交基，它们的乘积态 $\psi^A_i \otimes \psi^B_j$ 构成 $H_A \otimes H_B$ 的正交基。则复合系统的状态 $\psi$ 可表示为： \[ \psi = \sum_{i,j} c_{ij} \psi^A_i \otimes \psi^B_j \] 在计算概率之前，需对矢量 $\psi$ 进行归一化，即： \[ \|\psi\|^2 = \sum_{i,j} |c_{ij}|^2 = 1 \] $S \otimes 1$ 在状态 $\psi$ 下的期望值计算如下： \[ \begin{align*} \langle\psi, S \otimes 1 \psi\rangle &= \left\langle\sum_{i,j} c_{ij} \psi^A_i \otimes \psi^B_j, \sum_{k,l} c_{kl} S\psi^A_k \otimes \psi^B_l\right\rangle \\ &= \sum_{i,j,k,l} c_{ij} c_{kl} \langle\psi^A_i \otimes \psi^B_j, S\psi^A_k \otimes \psi^B_l\rangle \\ &= \sum_{i,j,k,l} c_{ij} c_{kl} \langle\psi^A_i, S \psi^A_k\rangle\langle\psi^B_j, \psi^B_l\rangle \\ &= \sum_{i,j,k,l} c_{ij} c_{kl} \langle\psi^A_i, S \psi^A_k\rangle\delta_{jl} \\ &= \sum_{i,k,l} c_{il} c_{kl} \langle\psi^A_i, S \psi^A_k\rangle \end{align*} \] 这涉及到 $S$ 在子系统不同状态之间的“矩阵元”。通常，可观测量 $S$ 在状态 $\psi$ 下的期望值为 $\langle\psi, S\psi\rangle$，而子系统可观测量的期望值更为复杂，这表明对于复合系统的给定状态，子系统的状态不能仅用该子系统希尔伯特空间中的单个矢量来描述。 当 $\psi = \psi^A \otimes \psi^B$ 时，算子 $S \otimes 1$ 的期望值为： \[ \langle S \otimes 1\rangle_{\psi} = \langle\psi, S \otimes 1\psi\rangle = \langle\psi^A, S \psi^A\rangle = \langle S\rangle_{\psi^A} \] 为了将上述结果以另一种方式表示，需要定义算子的迹。 ## 3. 迹类算子 ### 3.1 迹的定义 对于线性算子 $S$，若级数 \[ \text{Tr} S = \sum_{j} \langle\psi_j, S \psi_j\rangle \] 收敛，且在希尔伯特空间的任何正交基 $\{\psi_j\}$ 下具有相同的值，则 $\text{Tr} S$ 称为 $S$ 的迹，算子 $S$ 称为迹类算子。 当希尔伯特空间是有限维的，或者算子 $S$ 是非负的（即对于所有 $\psi$ 有 $\langle\psi, S\psi\rangle \geq 0$）时，上述级数的值自动与所选的正交基无关。但在一般情况下并非如此，因此定义中需要该假设。此外，迹类算子总是有界的，但并非所有有界算子都是迹类算子。对于非负迹类算子，有 $\|S\| \leq \text{Tr} S$。 ### 3.2 密度算子的定义 有界（因此处处有定义）的线性算子 $\rho$ 若满足以下性质，则称为密度算子： 1. $\rho$ 是非负的：对于所有 $\psi$，有 $\langle\psi, \rho \psi\rangle \geq 0$。 2. $\rho$ 是迹类算子，且 $\text{Tr} \rho = 1$。 ### 3.3 迹类算子的规范形式 希尔伯特空间 $H$ 中的自伴线性算子 $S$ 是迹类算子，当且仅当存在 $H$ 中的正交基 $\{\psi_j\}$，使得： \[ S = \sum_{j} \lambda_j \psi_j \langle\psi_j, \cdot \rangle = \sum_{j} \lambda_j |\psi_j\rangle\langle\psi_j| \] 其中实数 $\lambda_j$ 满足 $\sum_{j} |\lambda_j| < \infty$。此时，$S$ 的迹为： \[ \text{Tr} S = \sum_{j} \lambda_j \] 具有上述表示的算子 $S$ 的特征值为 $\lambda_j$，对应的特征向量为 $\psi_j$，每个非零特征值的简并度至多为有限值。 若 $\rho$ 是密度算子，则其特征值满足： \[ \lambda_j \geq 0, \quad \sum_{j} \lambda_j = 1 \] ### 3.4 密度算子的性质 若 $\rho_1$ 和 $\rho_2$ 是密度算子，则对于任何满足 $0 \leq \lambda \leq 1$ 的 $\lambda$，算子 \[ \rho(\lambda) = \lambda \rho_1 + (1 - \lambda) \rho_2 \] 也是密度算子。 ## 4. 子系统的密度算子 给定复合系统的归一化状态： \[ \psi = \sum_{i,j} c_{ij} \psi^A_i \otimes \psi^B_j \] 定义算子： \[ \rho^A = \sum_{i,k,l} c_{il} c_{kl} |\psi^A_k\rangle\langle\psi^A_i| \] 可以证明该算子具有以下性质： 1. $\rho^A$ 是有界的、自伴的且非负的。 2. $\rho^A$ 是迹类算子，且 $\text{Tr} \rho^A = 1$。 因此，$\rho^A$ 是密度算子，其特征值均为非负且总和为 1。由于 $\rho^A$ 是迹类算子，$S$ 是有界算子，根据数学理论，$S\rho^A$ 也属于迹类算子。计算 $\text{Tr} S \rho^A$ 可得： \[ \begin{align*} \text{Tr} S \rho^A &= \sum_{j} \langle\psi^A_j, S \rho^A \psi^A_j\rangle \\ &= \sum_{j,i,k,l} c_{il} c_{kl} \langle\psi^A_j, S \psi^A_k\rangle\langle\psi^A_i, \psi^A_j\rangle \\ &= \sum_{j,i,k,l} c_{il} c_{kl} \langle\psi^A_j, S \psi^A_k\rangle\delta_{i