离散KP方程的变分解释

### 离散 KP 方程的变分解释 #### 1. 根格 Q(AN) 上的离散 KP 方程 在根格 Q(A3) 上，每个定向八面体 [i jkℓ]（i < j < k < ℓ）都满足方程： \[x_{ij}x_{k\ell}-x_{ik}x_{j\ell}+ x_{i\ell}x_{jk} = 0\] 这个系统可以一致地扩展到四维根格 Q(A4) 及更高维的类似情况。例如，黑色 4 - ambo - 单形 ⌊i jkℓm⌋ 的五个八面体面 [i jkℓ]、[ jkℓm]、−[ikℓm]、[i jmℓ] 和 −[i jkm] 支持以下方程组： \[ \begin{cases} x_{ij}x_{k\ell}-x_{ik}x_{j\ell}+ x_{i\ell}x_{jk} = 0\\ x_{jk}x_{\ell m} -x_{j\ell}x_{km} + x_{jm}x_{k\ell}= 0\\ x_{k\ell}x_{im} -x_{km}x_{i\ell} + x_{ik}x_{\ell m}= 0\\ x_{\ell m}x_{ij} -x_{i\ell}x_{jm} + x_{j\ell}x_{im}= 0\\ x_{im}x_{jk} -x_{jm}x_{ik} + x_{km}x_{ij}= 0 \end{cases} \] 白色 4 - ambo - 单形 ⌈i jkℓm⌉ 的五个八面体面 \(T_m[i jkℓ]\)、\(T_i[ jkℓm]\)、\(-T_j[ikℓm]\)、\(T_k[i jℓm]\) 和 \(-T_{\ell}[i jkm]\) 支持以下方程组： \[ \begin{cases} x_{ijm}x_{k\ell m} -x_{ikm}x_{j\ell m} + x_{i\ell m}x_{jkm} = 0\\ x_{ijk}x_{i\ell m} -x_{ij\ell}x_{ikm} + x_{ijm}x_{ik\ell}= 0\\ x_{jk\ell}x_{ijm} -x_{jkm}x_{ij\ell} + x_{ijk}x_{j\ell m}= 0\\ x_{k\ell m}x_{ijk} -x_{ik\ell}x_{jkm} + x_{jk\ell}x_{ikm}= 0\\ x_{i\ell m}x_{jk\ell} -x_{j\ell m}x_{ik\ell} + x_{k\ell m}x_{ij\ell}= 0 \end{cases} \] 在这两个系统中，可以通过指标 (i jkℓm) 的循环置换从一个方程推导出另一个方程。 #### 2. 离散 3 - 形式 L 的定义 定义在定向八面体 [i jkℓ] 上的离散 3 - 形式 L 如下： \[L ([i jkℓ]) := \frac{1}{2} \left( \Lambda \left( \frac{x_{ij}x_{k\ell}}{x_{ik}x_{j\ell}} \right) + \Lambda \left( \frac{x_{ik}x_{j\ell}}{x_{i\ell}x_{jk}} \right) + \Lambda \left( \frac{-x_{i\ell}x_{jk}}{x_{ij}x_{k\ell}} \right) \right)\] 其中 \[\Lambda(z) := \lambda(z) - \lambda \left( \frac{1}{z} \right)\] \[\lambda(z) := - \int_{0}^{z} \frac{\log |1 - x|}{x} dx\] 这个离散 3 - 形式的动机来源于相关研究。与在立方格 \(Z^N\) 上考虑的类似离散 3 - 形式相比，这里对函数 \(\lambda(z)\) 的定义略有不同，这种选择允许更精确地考虑出现的对数的分支。 #### 3. 角方程的分析 ##### 3.1 黑色 4 - ambo - 单形上的角方程 黑色 4 - ambo - 单形 ⌊i jkℓm⌋ 上的角方程为： \[\frac{\partial S_{ijklm}}{\partial x_{ij}} = \frac{\partial L ([i jkℓ])}{\partial x_{ij}} + \frac{\partial L (-[i jkm])}{\partial x_{ij}} + \frac{\partial L ([i j\ell m])}{\partial x_{ij}} = 0\] \[\frac{\partial S_{ijklm}}{\partial x_{ik}} = \frac{\partial L ([i jkℓ])}{\partial x_{ik}} + \frac{\partial L (-[i jkm])}{\partial x_{ik}} + \frac{\partial L (-[ik\ell m])}{\partial x_{ik}} = 0\] 显式地，它们可以写成： \[\frac{1}{x_{ij}} \log |E_{ij}| = 0\] \[\frac{1}{x_{ik}} \log |E_{ik}| = 0\] 其中 \[E_{ij} := \frac{x_{ij}x_{k\ell}+ x_{i\ell}x_{jk}}{x_{ij}x_{k\ell}-x_{ik}x_{j\ell}} \cdot \frac{x_{ij}x_{km} -x_{ik}x_{jm}}{x_{ij}x_{km} + x_{im}x_{jk}} \cdot \frac{x_{ij}x_{\ell m} + x_{im}x_{j\ell}}{x_{ij}x_{\ell m} -x_{i\ell}x_{jm}}\] \[E_{ik} := \frac{x_{ik}x_{j\ell}-x_{ij}x_{k\ell}}{x_{ik}x_{j\ell}-x_{i\ell}x_{jk}} \cdot \frac{x_{ik}x_{jm} -x_{im}x_{jk}}{x_{ik}x_{jm} -x_{ij}x_{km}} \cdot \frac{x_{ik}x_{\ell m} -x_{i\ell}x_{km}}{x_{ik}x_{\ell m} + x_{im}x_{k\ell}}\] 每个角方程有两类解，因为任何解要么满足 \(E_{ij} = -1\)，要么满足 \(E_{ij} = 1\)。我们只考虑所有场 \(x_{ij}\) 非零的解（非奇异解）。 ##### 3.2 定理 3.1 每个系统 (4) 的解要么满足系统： \[ \begin{cases} E_{ij} = -1\\ E_{ik} = -1\\ E_{i\ell} = -1\\ E_{im} = -1\\ E_{jk} = -1\\ E_{j\ell} = -1\\ E_{jm} = -1\\ E_{k\ell} = -1\\ E_{km} = -1\\ E_{\ell m} = -1 \end{cases} \] 要么满足系统： \[ \begin{cases} E_{ij} = 1\\ E_{ik} = 1\\ E_{i\ell} = 1\\ E_{im} = 1\\ E_{jk} = 1\\ E_{j\ell} = 1\\ E_{jm} = 1\\ E_{k\ell} = 1\\ E_{km} = 1\\ E_{\ell m} = 1 \end{cases} \] 系统 (13) 等价于系统 (7)（即对应黑色 4 - ambo - 单形上的 dKP 方程），系统 (14) 等价于系统 (15)（即系统 (7) 经过场的变换 \(x \to x^{-1}\) 后的方程，记为 dKP−）。 以下是证明的流程图： ```mermaid graph TD; A[考虑解 x 满足 Eij=-1 和 Ejk=-1] --> B[定义 aij、aik 和 ajk 并代入方程]; B --> C[得到多项式形式的方程]; C --> D[根据非零场条件得到 eij = 0 和 ejk = 0]; D --> E[计算方程差值并比较系数得到 aij = ajk = 0]; E --> F[求解 xik 并代入 Eik 得到 Eik = -1]; A --> G[同理证明其他情况]; H[考虑解 x 满足 Eij ```