沉积模型自动校准与钙离子动力学耦合模型研究

### 沉积模型自动校准与钙离子动力学耦合模型研究 #### 1. 沉积模型自动校准 在沉积学研究中，准确模拟沉积过程对于识别潜在的新储层至关重要。传统的正向计算机模型在模拟沉积过程时，由于关键材料参数（如扩散传输系数）的不确定性，其在工业应用中的潜力受到限制。因此，提出了一种通过直接可观测数据（如特定盆地的井测量数据）来校准不确定传输系数的新方法。 ##### 1.1 沉积问题与校准思路 沉积物在数百万年的压力作用下会转化为原油和天然气，这一过程发生在储层岩石的封闭储层中。为了识别潜在的新储层，需要了解沉积盆地的地质演化。目前使用的正向计算机模型可以模拟沉积过程，但由于关键材料参数的不确定性，其模拟结果存在一定的误差。 校准思路是将正向演化过程反转，通过观测到的井数据来确定传输系数。具体来说，就是最小化输出函数 $J(\alpha, \beta)$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是传输系数。 ##### 1.2 多维沉积模型 海底沉积是一个随时间演化的过程，在双岩性模型中，考虑了两种沉积物：砂和泥。其演化遵循地球物理定律，用扩散偏微分方程（PDE）模型表示： \[ \begin{pmatrix} A & s \\ -A & 1 - s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\ h \end{pmatrix}_t = \nabla \cdot \begin{pmatrix} \alpha s \nabla h \\ \beta (1 - s) \nabla h \end{pmatrix} \quad \text{in } [0, T] \times B \] 其中，$h$ 表示沉积物层的厚度，$s$ 表示砂的体积分数，$1 - s$ 表示泥的体积分数。模型中的参数包括传输层厚度 $A$ 和扩散传输系数 $\alpha$、$\beta$。 对于正向时间模拟，该系统需要初始和边界数据。初始时，需要指定体积分数 $s$ 和层厚度 $h$，这些数据可以通过“回剥”方法重建。在盆地边界，需要给定流速 $s \nabla h$ 和 $(1 - s) \nabla h$。 ##### 1.3 逆方法 参数到观测的映射 $R : (\alpha, \beta) \to (s, h)$ 通常被称为正向问题。在盆地中，直接观测数据仅在井处可用，并且可以根据沉积物的年龄重建其历史。目标是通过观测到的井数据确定传输系数，从而校准模型。具体来说，就是最小化输出函数： \[ J(\alpha, \beta) = \frac{1}{|W|} \int_0^T \int_W (\tilde{s} - s)^2 + (\tilde{h} - h)^2 \, dx \, dt \] 其中，$(\tilde{s}, \tilde{h})$ 是观测到的井数据，$W$ 是井所在的区域。 ##### 1.4 Landweber 算法 Landweber 算法是一种用于求解 PDE 约束最小化问题的迭代算法。其目标是最小化目标函数 $J(p)$，其中 $p$ 是参数，$u$ 是满足 PDE 模型的解。算法的迭代步骤如下： 1. 当 $\|\nabla_p J(p_k)\| > \text{TOL}$ 时： - 求解 $PDE(u_k, p_k) = 0$ 得到 $u_k$。 - 计算搜索方向 $d_k = -\nabla_p J(p_k) / \|\nabla_p J(p_k)\|$。 - 更新参数 $p_{k + 1} = p_k + \Delta p_k d_k$。 其中，搜索方向 $d_k$ 是负梯度方向，为了避免尺度依赖，对其进行了归一化。增量 $\Delta p_k$ 通过一维线搜索算法确定。 ##### 1.5 梯度评估的对偶方法 在 Landweber 算法的每一步中，需要模拟一个时间相关的非线性 PDE 系统并评估目标函数的梯度。传统的有限差分方法在处理复杂问题时效率较低，而对偶方法可以将 $n$ 个非线性 PDE 系统替换为一个线性的对偶问题。 以标量扩散方程 $u_t = \nabla \cdot (\alpha \nabla u)$ 为例，通过对偶方法可以得到梯度的表达式。具体来说，通过求解一个线性的对偶问题，可以得到目标函数的完整梯度 $\nabla J$。 ##### 1.6 实现方面 FEniCS 项目的 DOLFIN 可以自动求解变分形式的 PDE，因此非常适合实现对偶问题。以对偶扩散方程为例，其变分形式的