聚类分析：模型、概念与高维数据处理

# 聚类分析：模型、概念与高维数据处理 ## 1. 基于模型的聚类方法 ### 1.1 期望最大化（EM）算法 基于模型的聚类方法旨在优化给定数据与某种数学模型之间的拟合度，通常假设数据由潜在概率分布的混合生成。期望最大化（EM）算法是一种流行的迭代细化算法，可用于寻找参数估计，它是 k - 均值范式的扩展。 在实际应用中，每个聚类可以用参数化概率分布来表示，整个数据是这些分布的混合。EM 算法的步骤如下： 1. **初始猜测参数向量**：随机选择 k 个对象来表示聚类中心，并对其他参数进行猜测。 2. **迭代细化参数**： - **期望步骤（E 步）**：根据以下公式为每个对象 $x_i$ 分配到聚类 $C_k$ 的概率： \[P(x_i \in C_k) = p(C_k|x_i) = \frac{p(C_k)p(x_i|C_k)}{p(x_i)}\] 其中 $p(x_i|C_k) = N(m_k, E_k(x_i))$ 遵循以 $m_k$ 为均值、$E_k$ 为期望的正态分布。 - **最大化步骤（M 步）**：使用上述概率估计来重新估计模型参数，例如： \[m_k = \frac{1}{n}\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_iP(x_i \in C_k)}{\sum_{j}P(x_i \in C_j)}\] EM 算法简单易实现，收敛速度快，但可能无法达到全局最优。其计算复杂度与输入特征数 $d$、对象数 $n$ 和迭代次数 $t$ 呈线性关系。贝叶斯聚类方法专注于计算类条件概率密度，AutoClass 是一种流行的贝叶斯聚类方法，它使用了 EM 算法的变体，能估计聚类数量，并已应用于多个领域。 ### 1.2 概念聚类 概念聚类是机器学习中的一种聚类形式，给定一组未标记对象，它会生成一个分类方案，并为每个组找到特征描述。概念聚类是一个两步过程：先进行聚类，然后进行特征描述。 COBWEB 是一种流行且简单的增量概念聚类方法，它以分类树的形式创建层次聚类。分类树与决策树不同，每个节点代表一个概念，并包含该概念的概率描述。COBWEB 使用类别效用（CU）来指导树的构建，类别效用定义为： \[CU = \frac{\sum_{k = 1}^{n}P(C_k)[\sum_{i}\sum_{j}P(A_i = v_{ij}|C_k)^2 - \sum_{i}\sum_{j}P(A_i = v_{ij})^2]}{n}\] COBWEB 的工作流程如下： 1. **对象插入**：沿着分类树的适当路径下降，更新计数，通过计算类别效用找到最佳宿主节点。 2. **新节点判断**：计算为对象创建新节点时的类别效用，并与现有节点的计算结果进行比较，选择类别效用最高的分区。 3. **合并与分裂操作**：考虑将两个最佳宿主合并为一个类，以及将最佳宿主的子节点在现有类别中进行分裂，这些决策基于类别效用。 然而，COBWEB 存在一些局限性，如假设属性的概率分布相互独立、更新和存储聚类的成本较高、分类树在输入数据倾斜时不平衡等。CLASSIT 是 COBWEB 的扩展，用于连续数据的增量聚类，但也存在类似问题，不适合处理大型数据库数据。 ### 1.3 神经网络方法 神经网络方法受生物神经网络的启发，神经网络是一组连接的输入/输出单元，每个连接都有一个关联的权重。神经网络具有并行和分布式处理的特性，适合用于聚类。 自组织特征映射（SOMs）是一种流行的神经网络聚类方法，其目标是将高维源空间中的所有点映射到低维（通常是 2 - D 或 3 - D）目标空间，同时尽可能保留距离和邻近关系。SOMs 可以看作是 k - 均值聚类的受限版本，聚类过程中多个单元竞争当前对象，获胜单元及其最近邻的权重会被调整。 SOM 方法已成功应用于 Web 文档聚类，但由于处理时间长和复杂数据的复杂性，需要进一步研究以提高其在大型数据库中的有效性和可扩展性。 ## 2. 高维数据聚类 大多数聚类方法适用于低维数据，当数据维度增加时，会遇到挑战。这是因为随着维度增加，只有少数维度与某些聚类相关，无关维度的数据可能产生噪声，掩盖真实的聚类，并且数据变得越来越稀疏，距离度量变得无意义。 为了克服这些困难，可以考虑使用特征变换和特征选择技术。 ### 2.1 特征变换和特征选择 - **特征变换方法**：如主成分分析和奇异值分解，将数据转换到较小的空间，同时保留对象之间的相对距离，但可能无法去除无关属性，且变换后的特征难以解释。 - **属性子集选择**：通过去除无关或冗余维度来减少数据，通常通过监督学习或无监督过程（如熵分析）来找到最相关的属性子集。 ### 2.2 子空间聚类 子空间聚类是属性子集选择的扩展，它基于不同子空间可能包含不同有意义聚类的观察。以下介绍三种有效的高维数据聚类方法： #### 2.2.1 CLIQUE：维度增长子空间聚类方法 CLIQUE 是第一个用于高维空间维度增长子空间聚类的算法，它将每个维度划分为网格结构，根据单元中包含的点数确定单元是否密集。CLIQUE 的聚类过程分为两步： 1. **划分数据空间并确定密集单元**：将 d 维数据空间划分为非重叠的矩形单元，确定每个维度