离散共形映射：边界值问题与圆域

### 离散共形映射：边界值问题与圆域 #### 1. 长度交叉比与离散共形等价 长度交叉比 \(lcrij\) 隐式地假定在曲面上已选择了一个定向。对于不可定向曲面，长度交叉比在定向双覆盖上是良定义的。围绕内部顶点 \(i \in V\) 的长度交叉比之积为 1，即 \(\prod_{ij \ni i} lcrij = 1\)。 两个欧几里得三角剖分 \((\Delta, \ell)_{euc}\) 和 \((\Delta, \tilde{\ell})_{euc}\) 离散共形等价，当且仅当对于每个内部边 \(ij \in E_{int}\)，诱导的长度交叉比相等。类似的陈述也适用于球面和双曲三角剖分，只需分别将 \(\ell\) 替换为 \(\sin\frac{\ell}{2}\) 或 \(\sinh\frac{\ell}{2}\)。 #### 2. 从长度交叉比重构长度 为了处理由肖特基数据给出的黎曼曲面，需要从给定的长度交叉比重构一个满足特定条件的函数 \(\ell: E_{\Delta} \to \mathbb{R}_{>0}\)。为此，定义了与三角剖分的角度相关的辅助量 \(c_{ijk}\)，其在三角形 \(ijk \in F\) 的顶点 \(i\) 处的值为 \(c_{ijk} = \frac{\ell_{jk}}{\ell_{ij}\ell_{ki}}\)。此时，长度交叉比 \(lcrij = \frac{c_{ijk}}{c_{ilj}}\)。 给定一个定义在内部边集 \(E_{int}\) 上且满足内部顶点乘积条件的函数 \(lcr: E_{int} \to \mathbb{R}_{>0}\)，可以通过在每个顶点选择一个值，然后依次乘以长度交叉比来找到满足条件的参数 \(c_{ijk}\)。相应的函数 \(\ell\) 由 \(\ell_{ij} = \frac{1}{c_{ijk}c_{jki}} = \frac{1}{c_{ilj}c_{jil}}\) 确定。 #### 3. 二分图：通过长度多重比的特征描述 如果多面体表面的 1 - 骨架是二分图，即顶点可以用两种颜色着色，使得相邻顶点颜色不同，那么离散共形等价可以用长度多重比来描述。 - 若两个组合等价的欧几里得循环多面体表面 \((\Delta, \ell)_{euc}\) 和 \((\Delta, \tilde{\ell})_{euc}\) 离散共形等价，则偶数循环 \(i_1i_2, i_2i_3, \cdots, i_{2n}i_1\) 的长度多重比相等，即 \(\frac{\ell_{i_1i_2}\ell_{i_3i_4} \cdots \ell_{i_{2n - 1}i_{2n}}}{\ell_{i_2i_3}\ell_{i_4i_5} \cdots \ell_{i_{2n}i_1}} = \frac{\tilde{\ell}_{i_1i_2}\tilde{\ell}_{i_3i_4} \cdots \tilde{\ell}_{i_{2n - 1}i_{2n}}}{\tilde{\ell}_{i_2i_3}\tilde{\ell}_{i_4i_5} \cdots \tilde{\ell}_{i_{2n}i_1}}\)。 - 若 \(\Delta\) 的 1 - 骨架是二分图，则该条件也是充分的：如果所有循环的长度多重比相等，那么多面体表面离散共形等价。 对于单连通的组合等价欧几里得循环多面体表面且面为偶数多边形，它们离散共形等价当且仅当每个面边界循环的多重比条件成立。类似的陈述也适用于球面和双曲循环多面体表面，在多重比条件中，需分别将非欧几里得长度 \(\ell\) 替换为 \(\sin\frac{\ell}{2}\) 或 \(\sinh\frac{\ell}{2}\)。 #### 4. 四边形剖分：四边形图上的交叉比系统 对于具有循环四边形面的情况，相等的长度交叉比意味着相等的复交叉比。若两个具有循环四边形面的欧几里得多面体表面离散共形等价，则对应的面 \(ijkl \in F\) 在嵌入复平面时具有相同的复交叉比，即 \(\frac{(z_i - z_j)(z_k - z_l)}{(z_j - z_k)(z_l - z_i)} = \frac{(\tilde{z}_i - \tilde{z}_j)(\tilde{z}_k - \tilde{z}_l)}{(\tilde{z}_j - \tilde{z}_k)(\tilde{z}_l - \tilde{z}_i)}\)。 对于平面多面体表面，即复平面上的四边形剖分，离散共形性与四边形图上的交叉比系统相关。四边形图是对具有四边形面的曲面的抽象胞腔分解，通常还会添加一些条件。交叉比系统在四边形图 \(\Delta\) 上对附着于顶点 \(i \in V_{\Delta}\) 的变量 \(z_i\) 施加方程 \(\frac{(z_i - z_j)(z_k - z_l)}{(z_j - z_k)(z_l - z_i)} = Q_{ijkl}\)，其中 \(Q: F_{\Delta} \to \mathbb{C} \setminus \{0, 1\}\) 是给定函数。 若两个离散共形等价的平面四边形剖分对应于同一四边形图上具有相同交叉比 \(Q\) 的交叉比系统的两个解，则在单连通情况下，可以找到顶点上的复因子 \(w\)，使得对于所有边 \(ij \in E_{\Delta}\)，有 \(\tilde{z}_j - \tilde{z}_i = w_iw_j(z_j - z_i)\)。 交叉比系统在四边形图上是可积系统（在 3D 一致性意义下），如果交叉比 \(Q\) 可以“分解”，即存在一个满足特定条件的边集上的函数 \(a: E_{\Delta} \to \mathbb{C}\)。若交叉比 \(Q\) 具有单位模，则该交叉比系统与具有规定相交角的圆模式相关。 系统 \(\tilde{z}_j - \tilde{z}_i = w_iw_j(z_j - z_i)\) 也与四边形图上的可积系统相关。设 \(b_{ij} = z_j - z_i\)，若四边形图 \(\Delta\) 是单连通的，则该系统定义了一个函数 \(z: V \to \mathbb{C}\)（唯一至多相差一个加法常数），当且仅当复比例因子 \(w: V_{\Delta} \to \mathbb{C}\) 满足每个面 \(ijkl \in F\) 的闭包条件 \(b_{ij}w_iw_j + b_{jk}w_jw_k + b_{kl}w_kw_l + b_{li}w_lw_i = 0\)。 以下是上述部分内容的流程图： ```mermaid graph TD; A[给定长度交叉比] --> B[定义辅助量c_ijk]; B --> C[选择顶点值并乘交叉比]; C --> D[确定函数ℓ]; E[二分图条件] --> F[判断离散共形等价]; G[循环四边形面] --> H[判断复交叉比相等]; H --> I[关联交叉比系统]; ``` #### 5. 离散共形映射问题 考虑以下离散共形映射问题： - **问题 3.1（规定角度和）**：给定一个欧几里得、球面或双曲循环多面体表面 \((\Delta, \ell)_g\)（\(g \in \{euc, hyp, sph\}\)），每个顶点 \(i \in V_{\Delta}\) 的期望总角度 \(\Theta_i > 0\)，以及一种几何选择 \(\tilde{g} \in \{euc, hyp, sph\}\)，找到一个离散共形等价的循环多面体表面 \((\Delta, \tilde{\ell})_{\tilde{g}}\)，使得顶点周围的总角度为 \(\Theta\)。 - **问题 3.2（规定比例因子和角度和）**：给定一个欧几里得、球面或双曲循环多面体表面 \((\Delta, \ell)_g\)（\(g \in \{euc, hyp, sph\}\)），顶点集的划分 \(V_{\Delta} = V_0 \dot{\cup} V_1\)，每个顶点 \(i \in V_1\) 的规定角度 \(\Theta_i > 0\)，每个顶点 \(i \in V_0\) 的规定对数比例因子 \(u_i \in \mathbb{R}\)，以及一种几何选择 \(\tilde{g} \in \{euc, hyp, sph\}\)，找到一个离散共形等价的循环多面体表面 \((\Delta, \tilde{\ell})_{\tilde{g}}\)，使得 \(V_1\) 中顶点周围的总角度为 \(\Theta\)，\(V_0\) 中顶点的比例因子为 \(u\)。当 \(V_0 = \varnothing\)，\(V_1 = V\) 时，问题 3.2 退化为问题 3.1。 #### 6. 映射问题的解析表述 将问题 3.2 解析地重新表述为问题 3.4。由于循环多边形的边决定其角度，但只有三角形才有实用的显式角度 - 边方程，因此对多面体表面进行三角剖分。在三角形 \(ijk\) 中，用 \(\alpha_{ijk}\) 表示顶点 \(i\) 处的角度，用 \(\beta_{ij}\) 表示外接圆与边 \(jk\) 之间的角度，它们满足 \(\alpha_{ijk} + \beta_{jki} + \beta_{kij} = \pi\)。 对于欧几里得三角形，\(\alpha_{ijk} + \alpha_{jki} + \alpha_{kij} = \pi\)，\(\beta_{ijk} = \alpha_{ijk}\)。半角方程可用于将角度表示为边长的函数： \(\tan\frac{\alpha_{ijk}}{2} = \begin{cases} \sqrt{\frac{(-\ell_{ij} + \ell_{jk} + \ell_{ki})(\ell_{ij} + \ell_{jk} - \ell_{ki})}{(\ell_{ij} - \ell_{jk} + \ell_{ki})(\ell_{ij} + \ell_{jk} + \ell_{ki})}} & (euc) \\ \sqrt{\frac{\sinh\frac{\ell_{ij} - \ell_{jk} + \ell_{ki}}{2}\sinh\frac{\ell_{ij} + \ell_{jk} - \ell_{ki}}{2}}{\sinh\frac{-\ell_{ij} + \ell_{jk} + \ell_{ki}}{2}\sinh\frac{\ell_{ij} + \ell_{jk} + \ell_{ki}}{2}}} & (hyp) \\ \sqrt{\frac{\sin\frac{\ell_{ij} - \ell_{jk} + \ell_{ki}}{2}\sin\frac{\ell_{ij} + \ell_{jk} - \ell_{ki}}{2}}{\sin\frac{-\ell_{ij} + \ell_{jk} + \ell_{ki}}{2}\sin\frac{\ell_{ij} + \ell_{jk} + \ell_{ki}}{2}}} & (sph) \end{cases}\) 设 \(\Delta\) 是通过向 \(\Delta\) 的非三角形面添加非交叉对角线得到的抽象三角剖分，对于 \(ij \in E_{\Delta}\)，定义 \(\lambda_{ij}\) 如下： \(\lambda_{ij} = \begin{cases} 2\log\ell_{ij} & \text{if } g = euc \\ 2\log\sinh\frac{\ell_{ij}}{2} & \text{if } g = hyp \\ 2\log\sin\frac{\ell_{ij}}{2} & \text{if } g = sph \end{cases}\) 解决问题 3.2 等价于解决问题 3.4，其中 \(E_0 = E_{\Delta}\)，\(E_1 = E_{\Delta} \setminus E_{\Delta}\)。问题 3.4 要求找到 \(i \in V_1\) 的 \(u_i \in \mathbb{R}\) 和 \(ij \in E_1\) 的 \(\lambda_{ij}\)，使得 \(\tilde{\ell}: E_{\Delta} \to \mathbb{R}_{>0}\) 满足三角形不等式和角度条件。 以下是问题转化的表格： | 问题 | 输入 | 输出 | | ---- | ---- | ---- | | 问题 3.2 | 多面体表面 \((\Delta, \ell)_g\)，划分 \(V_{\Delta} = V_0 \dot{\cup} V_1\)，\(\Theta_i\)，\(u_i\)，\(\tilde{g}\) | 离散共形等价的循环多面体表面 \((\Delta, \tilde{\ell})_{\tilde{g}}\) | | 问题 3.4 | 抽象三角剖分 \(\Delta\)，划分 \(V_{\Delta} = V_0 \dot{\cup} V_1\)，\(u_i\)，\(\Theta_i\)，划分 \(E_{\Delta} = E_0 \dot{\cup} E_1\)，\(\lambda_{ij}\)，\(\tilde{g}\) | \(i \in V_1\) 的 \(u_i\) 和 \(ij \in E_1\) 的 \(\lambda_{ij}\) | #### 7. 变分原理 定义三个函数 \(E_{euc}^{\Delta, \Theta}, E_{hyp}^{\Delta, \Theta}, E_{sph}^{\Delta, \Theta}: \mathbb{R}^{E_{\Delta}} \times \mathbb{R}^{V_{\Delta}} \to \mathbb{R}\) 为： \(E_{\tilde{g}}^{\Delta, \Theta}(\lambda, u) = \sum_{ijk \in F_{\Delta}} \left[f_{\tilde{g}}(\tilde{\lambda}_{ij}, \tilde{\lambda}_{jk}, \tilde{\lambda}_{ki}) - \frac{\pi}{2}(\tilde{\lambda}_{jk} + \tilde{\lambda}_{ki} + \tilde{\lambda}_{ij})\right] + \sum_{i \in V_{\Delta}} \Theta_iu_i\) 其中 \(\tilde{g} \in \{euc, hyp, sph\}\)，\(\tilde{\lambda}\) 由 \(\tilde{\lambda}_{ij} = u_i + u_j + \lambda_{ij}\) 定义，函数 \(f_{euc}, f_{hyp}, f_{sph}\) 在其他部分定义。 定义函数 \(E_{\tilde{g}}^{\Delta, \Theta}\) 的可行区域： - \(E_{euc}\) 和 \(E_{hyp}\) 的可行区域是所有 \((\lambda, u) \in \mathbb{R}^{E_{\Delta}} \times \mathbb{R}^{V_{\Delta}}\) 使得由 \(\tilde{\lambda}\) 和 \(\tilde{\ell}\) 定义的 \(\tilde{\ell} \in \mathbb{R}^{E}_{>0}\) 满足三角形不等式的集合。 - \(E_{sph}\) 的可行区域是所有 \((\lambda, u) \in \mathbb{R}^{E_{\Delta}} \times \mathbb{R}^{V_{\Delta}}\) 使得 \(\tilde{\lambda}\) 为负，且 \(\tilde{\ell}\) 满足三角形不等式和 \(\tilde{\ell}_{ij} + \tilde{\ell}_{jk} + \tilde{\ell}_{ki} < 2\pi\) 的集合。 定理表明，问题 3.2 的每个解 \((\Delta, \tilde{\ell})_{\tilde{g}}\) 通过 \(\tilde{\lambda}_{ij} = u_i + u_j + \lambda_{ij}\) 和 \(\tilde{\ell}_{ij}\) 的定义对应于函数 \(E_{\tilde{g}}^{\Delta, \Theta}\) 在约束条件下的一个临界点 \((\lambda, u) \in \mathbb{R}^{E_{\Delta}} \times \mathbb{R}^{V_{\Delta}}\)。反之，若 \((\lambda, u)\) 是 \(E_{\tilde{g}}^{\Delta, \Theta}\) 在相同约束下的临界点且在可行区域内，则 \((\Delta, \tilde{\ell})_{\tilde{g}}\) 是问题 3.2 的解。 函数 \(E_{\tilde{g}}\) 的偏导数为： \(\frac{\partial E_{\tilde{g}}}{\partial u_i}(\lambda, u) = \Theta_i - \sum_{ijk \ni i} \tilde{\alpha}_{ijk}\) \(\frac{\partial E_{\tilde{g}}}{\partial \lambda_{ij}}(\lambda, u) = \tilde{\beta}_{kij} + \tilde{\beta}_{lij} - \pi\) 对于目标几何为 \(\tilde{g} \in \{euc, hyp\}\) 的问题 3.2，如果有解，则解是唯一的，除非 \(\tilde{g} = euc\) 且 \(V_0 = \varnothing\)，此时解在比例上唯一。对应于问题 3.2 解的临界点 \((\lambda, u)\) 是 \(E_{\tilde{g}}^{\Delta, \Theta}\) 在约束条件下的极小值点，在某些特殊情况下 \(E_{\tilde{g}}^{\Delta, \Theta}\) 可能在某些方向上为常数，可通过添加约束来获得唯一极小值点。 函数 \(E_{euc}, E_{hyp}, E_{sph}\) 的二阶导数是二次型 \(D^2E_{\tilde{g}}(\lambda, u) = \frac{1}{2} \sum_{ijk \in F_{\Delta}} \left[q_{kij}(\lambda, u) + q_{ijk}(\lambda, u) + q_{jki}(\lambda, u)\right]\)，其中 \(q_{kij}(\lambda, u)\) 根据三角形不等式和球面情况下的额外不等式有不同定义。这些二阶导数公式对于 \(E_{euc}\) 和 \(E_{hyp}\) 的数值最小化以及 \(E_{sph}\) 临界点的寻找都很有用。 ### 离散共形映射：边界值问题与圆域 #### 8. 二阶导数公式及应用 函数 \(E_{euc}\)、\(E_{hyp}\) 和 \(E_{sph}\) 的二阶导数在离散共形映射问题的求解中具有重要作用。具体来说，二阶导数 \(D^2E_{\tilde{g}}(\lambda, u)\) 被表示为二次型： \[D^2E_{\tilde{g}}(\lambda, u) = \frac{1}{2} \sum_{ijk \in F_{\Delta}} \left[q_{kij}(\lambda, u) + q_{ijk}(\lambda, u) + q_{jki}(\lambda, u)\right]\] 其中，当由 \((23)\)、\((24)\) 定义的 \(\tilde{\ell}_{ij}\)、\(\tilde{\ell}_{jk}\)、\(\tilde{\ell}_{ki}\) 违反三角形不等式 \((25)\)，或者在 \(\tilde{g} = sph\) 的情况下违反不等式 \((26)\) 时，\(q_{kij}(\lambda, u) = 0\)。否则，二次型 \(q_{kij}(\lambda, u)\) 有特定的定义。 这些二阶导数公式在数值计算中非常实用。对于 \(E_{euc}\) 和 \(E_{hyp}\) 的数值最小化问题，二阶导数可以帮助确定函数的凸性和极值点。在寻找 \(E_{sph}\) 的临界点时，二阶导数也能提供关键信息，辅助判断函数的局部性质。 #### 9. 离散共形映射问题的求解流程 综合前面的内容，我们可以梳理出离散共形映射问题的求解流程： 1. **问题定义**：明确是问题 3.1（规定角度和）还是问题 3.2（规定比例因子和角度和），确定输入参数，包括多面体表面的几何类型 \(g\)、顶点划分 \(V_0\) 和 \(V_1\)、角度 \(\Theta_i\)、比例因子 \(u_i\) 以及目标几何类型 \(\tilde{g}\)。 2. **解析转化**：将问题 3.2 转化为问题 3.4，通过对多面体表面进行三角剖分，定义 \(\lambda_{ij}\) 等参数，将问题转化为求解 \(i \in V_1\) 的 \(u_i\) 和 \(ij \in E_1\) 的 \(\lambda_{ij}\) 的问题。 3. **变分原理应用**：利用变分原理，找到函数 \(E_{\tilde{g}}^{\Delta, \Theta}\) 在约束条件下的临界点。这需要计算 \(E_{\tilde{g}}\) 的偏导数 \(\frac{\partial E_{\tilde{g}}}{\partial u_i}\) 和 \(\frac{\partial E_{\tilde{g}}}{\partial \lambda_{ij}}\)，并根据可行区域的条件筛选出符合要求的临界点。 4. **唯一性判断**：根据目标几何类型 \(\tilde{g}\) 和顶点划分情况，判断解的唯一性。对于 \(\tilde{g} \in \{euc, hyp\}\) 的情况，一般解是唯一的，但存在一些特殊情况需要额外处理。 5. **数值计算**：使用二阶导数公式进行数值最小化或临界点寻找，最终得到问题的解，即离散共形等价的循环多面体表面 \((\Delta, \tilde{\ell})_{\tilde{g}}\)。 以下是求解流程的 mermaid 流程图： ```mermaid graph TD; A[问题定义] --> B[解析转化]; B --> C[变分原理应用]; C --> D[唯一性判断]; D --> E[数值计算]; E --> F[得到解]; ``` #### 10. 不同几何类型下的特点总结 不同的几何类型（欧几里得、双曲、球面）在离散共形映射问题中具有不同的特点，我们可以通过表格进行总结： | 几何类型 | 长度参数定义 | 角度 - 边长关系 | 可行区域条件 | 解的唯一性 | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | 欧几里得（euc） | \(\lambda_{ij} = 2\log\ell_{ij}\) | \(\tan\frac{\alpha_{ijk}}{2} = \sqrt{\frac{(-\ell_{ij} + \ell_{jk} + \ell_{ki})(\ell_{ij} + \ell_{jk} - \ell_{ki})}{(\ell_{ij} - \ell_{jk} + \ell_{ki})(\ell_{ij} + \ell_{jk} + \ell_{ki})}}\) | \(\tilde{\ell}\) 满足三角形不等式 | 一般唯一，\(\tilde{g} = euc\) 且 \(V_0 = \varnothing\) 时在比例上唯一 | | 双曲（hyp） | \(\lambda_{ij} = 2\log\sinh\frac{\ell_{ij}}{2}\) | \(\tan\frac{\alpha_{ijk}}{2} = \sqrt{\frac{\sinh\frac{\ell_{ij} - \ell_{jk} + \ell_{ki}}{2}\sinh\frac{\ell_{ij} + \ell_{jk} - \ell_{ki}}{2}}{\sinh\frac{-\ell_{ij} + \ell_{jk} + \ell_{ki}}{2}\sinh\frac{\ell_{ij} + \ell_{jk} + \ell_{ki}}{2}}}\) | \(\tilde{\ell}\) 满足三角形不等式 | 唯一 | | 球面（sph） | \(\lambda_{ij} = 2\log\sin\frac{\ell_{ij}}{2}\) | \(\tan\frac{\alpha_{ijk}}{2} = \sqrt{\frac{\sin\frac{\ell_{ij} - \ell_{jk} + \ell_{ki}}{2}\sin\frac{\ell_{ij} + \ell_{jk} - \ell_{ki}}{2}}{\sin\frac{-\ell_{ij} + \ell_{jk} + \ell_{ki}}{2}\sin\frac{\ell_{ij} + \ell_{jk} + \ell_{ki}}{2}}}\) | \(\tilde{\lambda}\) 为负，\(\tilde{\ell}\) 满足三角形不等式和 \(\tilde{\ell}_{ij} + \tilde{\ell}_{jk} + \tilde{\ell}_{ki} < 2\pi\) | 暂未详细提及特殊情况，一般可通过变分原理和可行区域判断 | #### 11. 交叉比系统与可积性 交叉比系统在离散共形映射中扮演着重要角色。在四边形图上的交叉比系统，如果交叉比 \(Q\) 可以“分解”，即存在满足特定条件的边集上的函数 \(a: E_{\Delta} \to \mathbb{C}\)，则该交叉比系统是可积系统（在 3D 一致性意义下）。具体条件如下： - 对于每个四边形 \(ijkl \in F\)，函数 \(a\) 在对边取值相同，即 \(a_{ij} = a_{kl}\)，\(a_{jk} = a_{li}\)。 - \(Q_{ijkl} = \frac{a_{ij}}{a_{jk}}\)。 这种可积的交叉比系统在 Adler 等人对四边形图上可积方程的分类中被称为 \((Q1)_{\delta = 0}\)，也被称为离散 Schwarzian Korteweg - de Vries（dSKdV）方程，特别是在规则正方形格上具有常数交叉比的情况下。 若交叉比 \(Q\) 具有单位模，则交叉比系统与具有规定相交角的圆模式相关。这表明交叉比系统在不同的应用场景中具有广泛的联系和重要的理论价值。 #### 12. 总结与展望 离散共形映射问题涉及多个方面的理论和方法，包括长度交叉比、长度多重比、交叉比系统、变分原理等。通过对不同几何类型下的问题进行分析和求解，我们可以得到离散共形等价的循环多面体表面。 在实际应用中，这些理论和方法可以用于计算机图形学、几何建模、物理模拟等领域。未来的研究可以进一步探索离散共形映射在更复杂几何结构和高维空间中的应用，以及如何提高数值计算的效率和精度。同时，可积系统与离散共形映射的联系也为进一步研究提供了新的方向，有望发现更多有趣的数学性质和应用场景。 通过本文的介绍，我们希望读者对离散共形映射问题有更深入的理解，并能够将这些知识应用到实际问题的解决中。