量子比特的矩阵表示、自旋与直积运算

### 量子比特的矩阵表示、自旋与直积运算 #### 1. 从实验确定常数到重新审视量子比特模型 在一系列实验中，我们可以确定复数常数 \(c_1\) 和 \(c_2\)。假设实验得出 \(c_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\)，\(c_2 = \frac{i}{\sqrt{2}}\)，那么有： \[P = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -i \\ i & 1\end{pmatrix} = \frac{1}{2}(1 + \sigma_Y)\] 由于单位算子 \(1\) 作用在态矢量 \(|\Psi\rangle\) 上有 \(1|\Psi\rangle = |\Psi\rangle\)，它不影响本征态（但会改变本征值），所以我们可以将算子 \(P\) 与泡利矩阵 \(\sigma_Y\) 联系起来。 这一结果促使我们重新思考简单的量子灯泡（qbulb）对量子比特的类比。虽然量子灯泡模型能解释由 \(N\) 算子表示的量子比特的占据数测量，但麦克斯韦量子比特还具有 \(P\) 性质，这表明量子比特比量子灯泡模型所描述的更为复杂。为了构建更真实的量子比特模型，我们接下来探讨量子力学中的自旋现象。 #### 2. 光的量子比特解释及量子电动力学 在讨论自旋之前，我们先对光的量子比特解释做一个总结。方程 (2.37) 可以完整描述单色电磁波，无需量子比特解释。之前假设的外星科学家之所以采用希尔伯特空间来解释测量结果，是因为我们只给了他们 \(N\) 和 \(P\) 测量设备，这些设备只能提供麦克斯韦理论的粗粒度版本。如果他们能接触到麦克斯韦的理论，光的量子比特解释就不再必要，因为他们可以根据麦克斯韦理论找出 \(N\) 和 \(P\) 输出背后的机制。 然而，麦克斯韦的经典理论已被量子电动力学（QED）所取代。QED 是 20 世纪中叶量子场论的重大成就之一。在 QED 中，单色光被描述为量子场的激发，这种激发具有粒子性质，被称为光子，它是量子比特的一种物理实现，具有与我们之前讨论类似的性质。尽管经典系统也能表现出类似量子比特的行为，但一对光子所共有的纠缠现象在经典系统中没有类比。纠缠在量子信息理论中起着重要作用，也是我们后续讨论的核心内容。 #### 3. 电子自旋的发现与实验证据 现在，我们抛弃简单的量子灯泡模型，寻找一个能与光子一样展现量子比特所有特征的物理系统，电子就是这样的系统。电子于 19 世纪中后期被发现，宇宙中每个电子都具有相同的电荷和质量。与质子和中子不同，电子似乎是基本粒子，呈点状，但它具有丰富的内部结构——自旋。 自旋的证据来自于 Stern - Gerlach（SG）实验。在实验中，含有单个价电子的中性原子束通过 SG 装置，该装置中有不均匀磁场会使原子发生偏转。原子离开装置后会撞击到检测屏上，通过分析原子相对于初始轨迹的偏移来研究其行为。在经典物理学中，偏转力与 \(\vec{m} \cdot \vec{B}\) 的空间梯度成正比，其中 \(\vec{B}\) 是磁场矢量，\(\vec{m}\) 是磁矩。基于观察到的偏转现象，物理学家推测电子具有固有磁矩。通常，磁矩是由电荷形成电流环产生的，但电子是点粒子，用这种机制来解释电子磁矩存在问题。除了实验证据，Paul Dirac 为了调和量子力学和狭义相对论，从理论上有力地论证了自旋（更准确地说是自旋 1/2）的存在，并指出电子的固有磁矩与其自旋性质成正比。 在经典描述中，\(\vec{m}\) 在空间中各个方向分布，因此在类似 SG 装置的设置中，偏转力会导致原子有连续的路径谱。但 SG 实验表明，原子并非如此偏转，而是在检测屏上分成两个离散区域，这种二元行为类似于量子灯泡的开和关，也类似于光子的 \(|H\rangle\) 和 \(|V\rangle\) 状态。因此，我们假设当 SG 装置检测到原子在屏幕上半部分时，电子的内部自旋态为 \(|0\rangle\)；检测到在下半部分时为 \(|1\rangle\)。这些状态是算子 \(n\) 的本征态，这里的算子 \(n\) 与沿 \(z\) 方向的 SG 装置相关联。 我们还通过将 SG 装置沿不同方向（如 \(x\) 和 \(y\) 方向）进行额外测量，发现原子轨迹也呈现二元分离现象。对于 \(x\) 方向的测量装置，电子的内部状态也应由一对本征态的态矢描述，但具体是哪个算子的本征态呢？通过让中性原子束通过不同取向的 SG 装置进行实验，我们引出了下面要讨论的量子力学自旋理论。 #### 4. 非对易可观测量与不确定性原理 对 Stern - Gerlach 实验结果的解释促使物理学家推测电子具有一种全新的纯量子力学性质——自旋（自旋 1/2）。自旋由三个厄米算子表示，分别对应 SG 装置相对于原子束方向定义的坐标轴的不同取向： \[S_X \equiv \frac{\hbar}{2} \sigma_X\] \[S_Y \equiv \frac{\hbar}{2} \sigma_Y\] \[S_Z \equiv \frac{\hbar}{2} \sigma_Z\] 它们也可以用矢量形式表示为 \(\vec{S} = S_X\hat{i} + S_Y\hat{j} + S_Z\hat{k}\)，其中 \(\hat{i}\)、\(\hat{j}\)、\(\hat{k}\) 是笛卡尔坐标系的三个正交单位矢量。这里引入了普朗克常数 \(\hbar = 6.626176 \times 10^{-34} Js\)，它具有角动量的物理单位。 通过前面的讨论可知，\(\vec{S}\) 的每个分量的本征值为 \(\pm\frac{\hbar}{2}\)。使用沿 \(z\) 方向的 SG 装置 \(S_Z\) 进行测量，会在检测屏上产生如图 2.3 所示的二元图案，上半部分的粒子处于 \(|0\rangle\) 态，下半部分的原子处于 \(|1\rangle\) 态。根据测量的塌缩假设（Postulate IV），系统会塌缩到相应的状态，即： \[S_Z|0\rangle = \frac{\hbar}{2} |0\rangle\] \[S_Z|1\rangle = -\frac{\hbar}{2} |1\rangle\] 这表明 \(|0\rangle\) 态对应 \(S_Z\) 测量值为 \(\frac{\hbar}{2}\)，\(|1\rangle\) 态对应测量值为 \(-\frac{\hbar}{2}\)。 假设我们先进行 \(S_Z\) 测量，发现系统处于 \(|0\rangle\) 态，然后将这些过滤后的原子作为入射束，用沿 \(x\) 方向的 SG 装置 \(S_X\) 进行测量。\(|u\rangle\) 和 \(|v\rangle\) 是 \(S_X\) 的本征态，且 \(|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|u\rangle + |v\rangle)\)。根据玻恩规则（Postulate III），进行 \(S_X\) 测量时，有 50% 的概率得到本征值 \(\frac{\hbar}{2}\)，50% 的概率得到 \(-\frac{\hbar}{2}\)。若测量得到 \(S_X = -\frac{\hbar}{2}\)，根据塌缩假设，系统会塌缩到 \(|v\rangle\) 态。接着再用 \(S_Z\) 装置进行测量，由于 \(|v\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)\)，所以有 50% 的概率测量到系统处于 \(|1\rangle\) 态，尽管在第一次 \(S_Z\) 测量时我们似乎已经过滤掉了这个状态。 总结来说，我们对初始原子束依次进行 \(S_Z\)、\(S_X\) 和 \(S_Z\) 测量。初始 \(S_Z\) 测量后，量子比特的希尔伯特空间振幅 \(|\Psi\rangle\) 塌缩到 \(|0\rangle\) 态，后续再进行 \(S_Z\) 测量总是得到 \(S_Z = \frac{\hbar}{2}\)，但如果中间插入 \(S_X\) 测量，再进行 \(S_Z\) 测量就有 50% 的概率得到 \(S_Z = -\frac{\hbar}{2}\)。这种某些测量会影响后续独立测量结果的特性是该理论的常见特征，在后续章节中我们会讨论如何利用这一特性实现安全通信信道。 为了深入理解这种反直觉行为的机制，我们考虑一个处于 \(|\Psi\rangle\) 态的量子比特。用 SG 装置 \(S_X\)、\(S_Z\) 或 \(S_Y\) 对其进行测量，以 \(S_Z\) 为例，根据玻恩规则，测量得到 \(\frac{\hbar}{2}\) 的概率为 \(|\langle 0|\Psi\rangle|^2\)。如果多次对同一 \(|\Psi\rangle\) 态进行测量，我们可以计算所有可能结果的平均值。对于一组量 \(x_i\)，其平均值（期望值）\(\bar{x}\) 定义为： \[\bar{x} \equiv \sum_i p_i x_i\] 其中 \(p_i\) 是事件 \(x_i\) 发生的概率。对于 \(|\Psi\rangle = |u\rangle\) 态，因为 \(p_{\frac{\hbar}{2}} = \frac{1}{2}\)，\(x_1 = \frac{\hbar}{2}\)，\(p_{-\frac{\hbar}{2}} = \frac{1}{2}\)，\(x_2 = -\frac{\hbar}{2}\)，所以 \(S_Z = 0\)。 除了平均值，我们还需要衡量测量结果偏离平均值的倾向，这就是测量的标准差 \(\sigma\)，定义为： \[\sigma = \sqrt{\langle (x - \bar{x})^2\rangle} = \sqrt{\langle x^2 - 2x\bar{x} + \bar{x}^2\rangle} = \sqrt{\langle x^2\rangle - \bar{x}^2}\] 对于 \(S_Z\) 测量，已知 \(S_ZS_Z = S_XS_X = S_YS_Y = \frac{\hbar^2}{4}\)，我们可以计算 \(S_Z\) 测量的标准差： \[\Delta S_Z = \frac{\hbar}{2} \sin\theta\] 其中 \(0 \leq \theta \leq \pi\)。\(\Delta S_Z\) 也被称为测量的不确定性，其值越大，测量值越不确定或越分散。\(S_Z\) 的最大不确定性为 \(\frac{\hbar}{2}\)，这是合理的，因为