张分形与次优多用户检测器：创新算法与应用探索

### 张分形与次优多用户检测器：创新算法与应用探索 #### 张分形的生成与特性 分形的生成在信号恢复、计算机几何和图形等领域一直是重要且有趣的研究课题。自 20 世纪 70 年代以来，分形理论和技术不断发展，许多分形的生成与牛顿迭代法密切相关，该方法用于求解复域中的某些非线性方程。然而，求解时变非线性方程可能会产生全新的分形图形。 张神经网络（ZNN）自 2001 年 3 月提出以来，在解决各种时变问题方面表现出色，如时变线性方程求解、时变矩阵求逆等。作为 ZNN 的简化或推广形式，张动力学（ZD）在时变非线性方程求解领域同样高效。 本文通过对连续时间复值张动力学（CTCVZD）模型进行离散化，得到了相应的离散时间复值 ZD（DTCVZD）模型，并将其应用于生成新的分形——张分形。这些张分形与牛顿迭代法生成的牛顿分形明显不同，牛顿分形用于求解静态方程。 ##### 复值张动力学 为了生成张分形，我们考虑复域中的时变非线性方程： \[f(z(t), t) = g(z(t), t) - a(t) = 0 \in \mathbb{C}, t \in [0, +\infty)\] 其中 \(g(\cdot) : \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) 是一个非线性复映射，\(a(t) \in \mathbb{C}\) 是复域中平滑的时变标量，\(z(t) \in \mathbb{C}\) 是待求解的未知时变复值标量。 传统的牛顿迭代法用于求解复值非线性方程 \(f(z) = g(z) - a = 0 \in \mathbb{C}\)（时不变或静态方程），并同时生成相应的分形。与传统方法不同，本文开发并利用 DTCVZD 模型来求解时变非线性方程，从而获得新的分形。具体而言，本文考虑求解的时变非线性方程为 \(f(z(t), t) = z^N(t) - a(t)\)，其中 \(N \geq 3\) 是正整数参数，\(a(t)\) 是复值时变标量。 - **连续时间复值张动力学**：首先，根据张等人的设计方法，构建 CTCVZD 模型来求解时变非线性方程。为了监测和控制求解过程，定义了如下不确定的无下界复值误差函数： \[e(t) = f(z(t), t) \in \mathbb{C}\] 显然，当误差函数 \(e(t)\) 收敛到零时，\(z(t) \in \mathbb{C}\) 收敛到方程的理论解 \(z^*(t)\)。为了使误差函数 \(e(t)\) 趋近于零，采用了张等人的公式： \[\dot{e}(t) = -\gamma\varphi(e(t))\] 其中设计参数 \(\gamma > 0\) 是 ZD 模型硬件实现中电容参数的倒数，应根据硬件允许设置尽可能大的值，或为模拟目的进行适当设置。\(\varphi(\cdot) : \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) 表示激活函数。本文介绍并研究了五种类型的激活函数，包括线性、幂 - 西格莫德、幂和、双曲正弦和西格莫德激活函数，其他类型的激活函数可以从这五种基本类型推广而来。 展开 CTCVZD 设计公式，得到如下复值微分方程： \[\frac{\partial f(z(t), t)}{\partial z(t)}\frac{dz(t)}{dt} + \frac{\partial f(z(t), t)}{\partial t} = -\gamma\varphi(f(z(t), t))\] 假设 \(\frac{\partial f(z(t), t)}{\partial z(t)} \neq 0\)，进一步得到： \[\dot{z}(t) = -\frac{\gamma\varphi(f(z(t), t)) - f_t'(z(t), t)}{f_z'(z(t), t)}\] 其中 \(f_t'(z(t), t) = \frac{\partial f(z(t), t)}{\partial t}\)，\(f_z'(z(t), t) = \frac{\partial f(z(t), t)}{\partial z(t)}\)，\(z(t) \in \mathbb{C}\) 表示 ZD 模型对应于方程解的神经状态。 - **离散时间复值张动力学**：通过对 CTCVZD 模型应用欧拉前向差分规则，得到相应的 DTCVZD 模型： \[z_{k + 1} = z_k - h\varphi(f(z_k, k\tau)) + \frac{\tau f_t'(z_k, k\tau)}{f_z'(z_k, k\tau)}, \text{ 其中 } f_z'(z_k, k\tau) \neq 0\] 其中 \(k = 0, 1, 2, \cdots\) 表示迭代索引，设计参数 \(