可计算可交换序列具有可计算的德菲内蒂测度

### 可计算可交换序列具有可计算的德菲内蒂测度 在概率和统计领域，可交换序列和德菲内蒂测度是重要的概念。可交换序列是指其有限子序列的联合分布在元素的任意排列下保持不变的序列。德菲内蒂测度则与可交换序列的表示密切相关，它描述了可交换序列如何由独立同分布（i.i.d.）序列的混合构成。本文将探讨可计算可交换序列与可计算德菲内蒂测度之间的关系。 #### 1. 基本概念 - **随机过程与德菲内蒂测度**：随机过程 $\{V_{\tau}\}_{\tau \in I_{\mathbb{Q}}}$ 的分布决定了德菲内蒂测度 $\mu$（即 $\nu$ 的分布）。对于子集 $C \subseteq \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$，变量 $\{V_{\gamma}\}_{\gamma \in C}$ 的混合矩定义为单项式 $\prod_{i = 1}^{k} V_{\beta(i)}$ 的期望，其中 $k \geq 1$ 且 $\beta \in C^k$。 - **引理 1**：对于 $k \geq 1$ 和 $\beta \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}^k$，有 $P\left(\bigcap_{i = 1}^{k} \{X_i \in \beta(i)\}\right) = E\left(\prod_{i = 1}^{k} V_{\beta(i)}\right)$。 如果 $X$ 是可计算的，并且 $\nu$ 几乎处处连续，我们可以计算 $\{V_{\tau}\}_{\tau \in I_{\mathbb{Q}}}$ 的混合矩。通过从矩中恢复分布的方法，我们可以恢复德菲内蒂测度。然而，在一般情况下，$\nu$ 中的点质量会阻碍我们计算混合矩，此时需要使用一种受随机算法启发的证明方法来避免点质量并恢复德菲内蒂测度。 #### 2. 可计算测度 - **可计算实数**： - 若所有小于实数 $r$ 的有理数构成的集合是可计算枚举（c.e.）集，则称 $r$ 为 c.e. 实数。 - 若所有大于实数 $r$ 的有理数构成的集合是 c.e. 集，则称 $r$ 为余 - c.e. 实数。 - 当 $r$ 既是 c.e. 实数又是余 - c.e. 实数时，称 $r$ 为可计算实数。 - **概率测度的表示**： - 设 $S$ 是一个 $T_0$ 第二可数空间，具有一个在有限并运算下封闭的可数基 $\mathcal{S}$。对于 $\eta \in \mathcal{M}_1(S)$（$S$ 上的 Borel 概率测度集合），其关于 $\mathcal{S}$ 的表示定义为集合 $\{(B, q) \in \mathcal{S} \times \mathbb{Q} : \eta B > q\}$。当该表示是 c.e. 集时，称 $\eta$ 为可计算测度。 - 对于不同的空间，概率测度有不同的表示方式： - 在 $\mathbb{R}^{\omega}$ 上，设 $\vec{x} = \{x_i\}_{i \geq 1}$ 是实值随机变量序列，其联合分布的表示为 $\bigcup_{k \geq 1} \{(\sigma, q) \in I_{\mathbb{Q}}^k \times \mathbb{Q} : P\left(\bigcap_{i = 1}^{k} \{x_i \in \sigma(i)\}\right) > q\}$。当该集合是 c.e. 集时，称 $\vec{x}$ 是可计算分布的。 - 在 $[0, 1]^k$ 上，设 $\vec{w} = (w_1, \ldots, w_k)$ 是随机向量，其联合分布关于基 $\mathcal{S} = \mathcal{T}^k$（$\mathcal{T} = \{(c, 1] : c \in \mathbb{Q}, 0 \leq c < 1\} \cup \{[0, 1]\}$）的表示为 $\{(\vec{c}, q) \in \mathbb{Q}^k \times \mathbb{Q} : P\left(\bigcap_{i = 1}^{k} \{w_i > c_i\}\right) > q\}$。 - 德菲内蒂测度 $\mu$ 是导向随机测度 $\nu$ 的分布，其表示为 $\bigcup_{k \geq 1} \{(\sigma, \vec{c}, q) \in I_{\mathbb{Q}}^k \times \mathbb{Q}^k \times \mathbb{Q} : P Y_{\sigma, \vec{c}} > q\}$，其中 $Y_{\beta, \vec{c}} := \bigcap_{i = 1}^{k} \{\nu \beta(i) > c_i\}$。当 $P Y_{\sigma, \vec{c}}$ 是关于 $\sigma$ 和 $\vec{c}$ 一致的 c.e. 实数时，称 $\mu$ 是可计算的。 #### 3. 可计算矩问题 在实际应用中，我们常常可以获取分布的矩，并希望从中恢复出底层的分布。对于分布 $\eta$ 在 $[0, 1]^{\omega}$ 上，设 $\vec{x} = \{x_i\}_{i \geq 1}$ 是取值在 $[0, 1]$ 上的随机变量序列，经典理论表明 $\eta$ 的分布由 $\vec{x}$ 的混合矩唯一确定。我们证明了 $[0, 1]^{\omega}$ 上的分布 $\eta$ 是可计算的当且仅当其混合矩序列是一致可计算的。 - **多项