相干态或框架量子化：原理与应用

# 相干态或框架量子化：理论与应用 ## 1. 引言 物理学作为自然科学的一部分，主要研究“自然”，具体来说包括“时间”“空间”“物质”“能量”和“相互作用”。这些研究对象在特定时刻以“显著”数据的形式呈现，如位置、速度和频率等。面对收集到的以特定数学形式编码的“原始”数据，并借助赋予数据子集重要性权重的测度函数，我们需要选择合适的分析框架来处理这些数据。 量子处理也包含在这个通用方案中，类似于在量子力学中对经典相空间进行量子化。量子化不仅仅局限于物理学的特定领域，如力学或场论，而是涉及更广泛的学科。本文旨在推广Berezin - Klauder - Toeplitz量子化方法，即给定一个按照特定方式构造的相干态族或框架，对测度空间X进行量子化。同时，还将探讨这种量子化方案产生的上下符号概念，并讨论其概率内容。为了直观说明，还会给出一个简单例子，即使用2×2矩阵对圆进行量子化。 ## 2. 量子化的一些思路 量子化问题有多种解决方法。简单来说，量子化是将经典可观测量的代数Acl与量子可观测量的代数Aq建立对应关系的过程。Acl通常是辛（或相）空间X上可导函数的交换泊松代数，而Aq一般是非交换的，量子化过程需提供从Acl到Aq的对应关系f → Af。不同的量子化方法至少需满足以下条件： - 常数函数1对应Aq中的单位元。 - Aq的对易关系重现Acl的泊松关系，同时实现海森堡代数。 - Aq是作用于某个希尔伯特空间的算子代数。 大多数物理量子理论可通过正则量子化过程得到，但该过程的规则较为随意，且难以协变实现，因此难以推广到许多系统。几何量子化充分利用了相空间的辛结构，但通常需要更多结构，如辛势。而变形量子化更具一般性，它仅基于辛结构并能保持对称性。 这里介绍的相干态量子化更为通用，它甚至不需要辛或泊松结构，空间X只需具备测度即可。该过程可从不同角度理解： - 它能验证上述所有要求，包括存在泊松结构时的相关要求。 - 可视为对X的“模糊化”，X上函数的代数Acl被算子代数Aq取代，可看作X的模糊版本的“坐标”，普通量子力学也可看作相空间几何的非交换版本。 - 在一定程度上，这是考虑“系统”X时的视角转变，可称为离散化或正则化，与信号处理中的标准方法（如涉及小波的方法）有相似之处，量子化的选择类似于选择观察系统的分辨率。 ## 3. 另一种相干态构造 在量子力学和信号分析中，研究对象是配备测度μ的观测集X。两者的自然研究框架都是平方可积实或复函数的希尔伯特空间L2K(X, μ)。然而，X的“量子处理”与信号处理不同，并非所有平方可积函数都能作为量子态。这就引出了量子化问题：如何从简单信号中选择量子态，即如何选择真正的量子态希尔伯特空间K（L2K(X, μ)的闭子空间）或对应的正交投影算子IK。 K除了是希尔伯特空间外，还需满足以下技术条件： - 对于所有φ∈K和所有x，φ(x)有明确定义（当X是拓扑空间且K中的元素是连续函数时满足此条件）。 - 线性映射（“求值映射”）δx : K → K，φ → φ(x)对于几乎所有x，关于K的拓扑是连续的。当K是有限维空间时，此条件自动满足。 根据Riesz定理，对于几乎所有x，存在唯一元素px∈K，使得⟨px|φ⟩ = φ(x)。相干态定义为对应px的归一化向量，用狄拉克符号表示为|x⟩ = |px⟩ / [N(x)]^(1/2)，其中N(x) = ⟨px|px⟩。由此可得φ(x) = [N(x)]^(1/2)⟨x|φ⟩。 还可得到K的单位分解： IK = ∫X μ(dx) N(x) |x⟩⟨x| 这是因为对于任意φ1, φ2∈K，有： ⟨φ1| ∫X μ(dx) N(x) |x⟩⟨x||φ2⟩ = ∫X μ(dx) N(x)⟨φ1|x⟩⟨x|φ2⟩ = ∫X μ(dx) φ1(x)φ2(x) = ⟨φ1|φ2⟩ 同时，有φ(x) = ∫X μ(dx′) √[N(x)N(x′)]⟨x|x′⟩φ(x′)，这表明K是具有核K(x, x′) = √[N(x)N(x′)]⟨x|x′⟩的再生希尔伯特空间，且K(x, x) = N(x)。此构造将X嵌入到K中，若在X上恰当定义局域化概念，|x⟩可解释为局域于x的态。集合{|x⟩}称为K的框架，当这些向量线性相关时，框架是过完备的。 若K有正交基{φn, n∈I}，技术条件等价于∑n |φn(x)|2 < ∞（几乎处处成立）。此时，相干态定义为|x⟩ = (1 / [N(x)]^(1/2)) ∑n φn(x)φn，其中N(x) = ∑n |φn(x)|2。这与之前介绍的相干态构造一致，只是采用了更“函数化”的方法。此外，“量子态”的希尔伯特空间可先验选择，独立于“信号”的希尔伯特空间L2K(X, μ)。给定可分希尔伯特空间H和与φn一一对应的正交基(|en⟩)n∈N，可在H中定义相干态族|x⟩ = (1 / √N(x)) ∑n φn(x)|en⟩