用于表面褶皱形状分析的张量场各向异性扩散

### 用于表面褶皱形状分析的张量场各向异性扩散 #### 1. 引言 人类大脑皮层表面的褶皱模式形成了一组连贯的凹槽和脊，这些褶皱在一定程度上在不同个体之间具有相似性。它们不仅标志着重要的解剖学边界，而且其宽度和长度在个体之间存在差异。褶皱形状的差异可能与衰老、性别、疾病以及潜在的白质连接有关。 目前，分析大脑皮层表面褶皱形状的方法有多种。例如，一种方法是通过迭代配准过程计算一组表面的平均形状，然后将将单个表面变形为平均表面所需的机械变形场用作统计形状模型。然而，这种方法面临统计估计问题，因为在存在统计噪声的情况下，需要估计某个因素对底层皮质表面形状的影响。噪声的存在降低了对因素估计效果与零不同的置信度，并降低了统计框架的检测能力。一种缓解此问题的方法是使用表面扩散核局部平均形状测量值，但各向同性扩散会对相邻神经解剖区域的测量值进行平均，这通常不是我们所期望的。 为了解决这个问题，我们提出在表面上使用各向异性扩散来突出特定褶皱上出现的模式。我们采用基于表面的形态测量方法进行统计分析，将每个个体的皮质表面视为模板表面的变形版本。通过表面配准过程，使用单纯形网格来找到模板表面和每个个体表面上顶点之间的对应关系。然后，在基于张量的形态测量和统计分析中对该映射的变形张量进行各向异性扩散。 本文主要有两个贡献： - 提出一种在表面上对标量场进行各向异性扩散的方法，使扩散速度沿相邻褶皱方向更快。 - 解决表面上张量扩散的问题，通过在扩散过程中使张量与相邻褶皱保持对齐，即根据相邻褶皱方向的变化旋转张量场。 #### 2. 方法 ##### 2.1 表面形态测量分析 人类大脑每个半球的形状被表示为嵌入欧几里得空间 $R^3$ 中的单个表面。假设有 $N$ 个个体的大脑皮质表面 $M_s \subset R^3$，且这些表面与球体同胚。通过表面配准过程，将这些表面映射到一个共同的模板 $\overline{M}$ 上，得到一个微分同胚映射 $\psi_s : \overline{M} \to M_s$。将 $\overline{M}$ 映射到 $M_s$ 所需的变形量可通过该微分同胚映射计算得到一个张量： $T_s = [grad(\psi_s)]^t[grad(\psi_s)]$ $T_s$ 形成一个 2x2 的正对称定张量场，对该张量场应用多元统计检验，以查看是否与外部因素存在显著相关性。 ##### 2.2 张量场的扩散 张量拉普拉斯算子在向量场 $x_1, x_2$ 下的表达式为： $\Delta T = \sum_{i,j\in\{1,2\}} \nabla_{x_i} g_{ij} \nabla_{x_j} T$ 其中 $\nabla$ 是协变导数。通过以下方程可以在表面上进行扩散： $\frac{\partial T}{\partial t} = \Delta T$ ##### 2.3 沿褶皱的标量场各向异性扩散 我们提出的用于表面形状分析的各向异性滤波器旨在遵循相邻波峰和波谷的方向。对于标量场 $f : \overline{M} \to R$，其各向异性扩散方程为： $\frac{\partial f}{\partial t} = \sum_{i,j,k\in\{1,2\}} \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_{x_i} (\sqrt{|g|} A_{ij} g_{jk} \partial_{x_k} f)$ 其中 $A : T \overline{M} \to T \overline{M}$ 是一个对称正定算子，控制 $\overline{M}$ 上的扩散速度，$|g|$ 是 $g$ 的行列式。 为了使 $A$ 适应 $\overline{M}$ 上的曲线模式，我们需要估计褶皱模式的局部方向。设 $v_{\theta}$ 是 $\overline{M}$ 上局部褶皱方向的估计（$\|v_{\theta}\|_{gp} = 1$），则 $A$ 可以选择为： $A = \alpha I + (1 - \alpha) ((v_{\theta} \otimes v_{\theta}) g)$ 其中 $\alpha \in ]0, 1]$ 是各向异性因子，$