二次型与谱估计

### 二次型与谱估计 #### 研究目标与工具 我们的研究聚焦于与度量图上的薛定谔算子相关的二次型。这些二次型将用于依据特定的参考拉普拉斯算子来证明谱估计。拉普拉斯算子的谱相对容易计算，但这并非获取谱估计的唯一原因。实际上，参考拉普拉斯算子不一定对应与原算子相同的度量图，其对应的参考度量图可能与原度量图具有不同的拓扑结构。这意味着在某些情况下，尽管顶点条件正常连接，但不能总是从相应量子图的谱推断出图的拓扑结构。此外，我们还将利用谱估计来证明著名的安巴尔楚米扬定理的几个推广。 我们主要使用的数学工具是半有界自伴算子与闭半有界二次型之间的一一对应关系。直接处理二次型能更快速地获得有效的谱估计，并充分利用微扰理论的力量。为简化公式，我们考虑零磁势的情况，但这并非限制，因为任意顶点条件都将被处理，且非平凡磁势等价于在顶点条件中引入某些相位。 #### 二次型（可积势） ##### 显式表达式 我们用 \(Q_{L_{q}^{S}}(u, v)\) 表示与算子 \(L_{q}^{S}\) 相关的二次（更准确地说是半双线性）型。该二次型首先定义在算子的定义域 \(u, v \in Dom (L_{q}^{S})\) 上： \[Q_{L_{q}^{S}}(u, v) = \langle u, L_{q}^{S}v \rangle_{L^2(\Gamma)}\] 因此，函数在每条边上满足 \(u, v \in W_{2}^{1}(E_{n})\)，\(-u'' + qu, -v'' + qv \in L^2(E_{n})\)，\(n = 1, 2, \cdots, N\)。这些条件意味着函数不仅连续，而且在每条边上具有连续的一阶导数，并且可以施加顶点条件。通过分部积分，二次型可以表示为： \[Q_{L_{q}^{S}}(u, v) = \sum_{n = 1}^{N} \int_{E_{n}} (u'(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x)) dx + \sum_{m = 1}^{M} \langle \vec{u}(V^m), \partial\vec{v}(V^m) \rangle_{\mathbb{C}^{d_m}}\] 其中，向量 \(\vec{u}(V^m)\) 和 \(\partial\vec{u}(V^m)\) 是顶点 \(V^m\) 处的边界值。 考虑顶点条件 \(i(S^m - I)\vec{u}(V^m) = (S^m + I)\partial\vec{u}(V^m)\)，其中 \(S^m\) 是不可约酉 \(d_m \times d_m\) 矩阵。我们引入对应于特征值 \(-1\) 的特征子空间的正交投影算子 \(P_{-1}^m\) 和其正交补投影算子 \(P_{-1}^{m\perp}\)。对顶点条件两边应用 \(P_{-1}^m\)，可得 \(P_{-1}^m\vec{u}(V^m) = 0\)，这意味着函数 \(u\) 在顶点 \(V^m\) 处满足某种广义狄利克雷条件。对顶点条件两边应用 \(P_{-1}^{m\perp}\)，可将条件写成罗宾形式： \[P_{-1}^{m\perp}\partial\vec{u}(V^m) = P_{-1}^{m\perp} i \frac{S^m - I}{S^m + I} P_{-1}^{m\perp} \vec{u}(V^m)\] 记 \(A^m := P_{-1}^{m\perp} i \frac{S^m - I}{S^m + I} P_{-1}^{m\perp}\)，则二次型可进一步表示为： \[Q_{L_{q}^{S}}(u, v) = \sum_{n = 1}^{N} \int_{E_{n}} u'(x)v'(x)dx + \sum_{n = 1}^{N} \int_{E_{n}} q(x)u(x)v(x)dx + \sum_{m = 1}^{M} \langle P_{-1}^{m\perp} \vec{u}(V^m), A^mP_{-1}^{m\perp} \vec{v}(V^m) \rangle_{\mathbb{C}^{d_m}}\] 对应的二次型为： \[Q_{L_{q}^{S}}(u, u) = \sum_{n = 1}^{N} \int_{E_{n}} |u'(x)|^2dx + \sum_{n = 1}^{N} \int_{E_{n}} q(x)|u(x)|^2dx + \sum_{m = 1}^{M} \langle P_{-1}^{m\perp} \vec{u}(V^m), A^mP_{-1}^{m\perp} \vec{u}(V^m) \rangle_{\mathbb{C}^{d_m}}\] 对于无界算子，二次型的定义域通常比算子的定义域大。如果算子严格正，则二次型的定义域是通过在由二次型给出的范数下封闭算子定义域得到的。我们得到的二次型不一定是正的，因为没有理由假设厄米矩阵 \(A_m\) 是正的，势 \(q\) 也可能为负。为了继续研究，我们需要证明二次型是半有界的，即存在常数 \(K\)，使得 \[\|u\|_{Q_{L_{q}^{S}}}^2 := Q_{L_{q}^{S}}(u, u) + K\|u\|_{L^2(\Gamma)}^2\] 是正定的。 ##### 一个基本的索伯列夫估计 为了继续研究，我们需要以下基本的索伯列夫估计（加利亚多 - 尼伦伯格估计的一个特殊情况）： **引理 11.1**：假设 \(u \in W_{2}^{1}[0, \ell]\)，则有 \[\|u\|_{L^{\infty}[0, \ell]}^2 \leq \epsilon \|u'\|_{L^2[0, \ell]}^2 + \frac{2}{\epsilon} \|u\|_{L^2[0, \ell]}^2\] 其中 \(\epsilon > 0\) 可以任意选取，但需满足 \(\epsilon \leq \ell\)。 **证明**：首先证明对于连续、分段连续可微函数的估计。设 \(x_{min}\) 是 \(|u|\) 取得最小值的点之一，则有 \[|u(x)|^2 \leq |u(x_{min})|^2 +