随机优化方法：粒子群优化与鲁棒优化

### 随机优化方法：粒子群优化与鲁棒优化 #### 1. 粒子群优化（Particle Swarm Optimization） 粒子群优化（PSO）是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟鸟群或鱼群的群体行为来寻找最优解。 ##### 1.1 惯性权重 惯性权重 $w(k)$ 用于控制粒子先前速度对当前速度的影响程度，其计算公式为： \[w(k) = \frac{(MaxIter - k)(w_{max} - w_{min})}{MaxIter} + w_{min}\] 其中，$MaxIter$ 是允许的最大迭代次数，$w_{min}$ 通常设置为 0.3 或 0.4，$w_{max}$ 通常设置为 0.8 或 0.9。 ##### 1.2 标准 PSO 算法 标准 PSO 算法的步骤如下： 1. **初始化**： - 设置迭代次数 $k := 0$。 - 生成 $N$ 个粒子的初始种群：$x^1(k), \cdots, x^N(k)$。 - 生成相应的初始速度：$v^1(k), \cdots, v^N(k)$。 - 设置局部最优 $p^i := x^i(k)$，$i = 1, \cdots, N$。 - 设置全局最优 $p_g := \arg\min_{1\leq i\leq N} J(x^i(k))$。 2. **群体进化**： - 设置 $k := k + 1$。 - 根据公式 $v^i(k) = f(x^i(k - 1), v^i(k - 1), p^i, p_g)$ 更新每个粒子的速度，其中 $f$ 由 (2.19) 给出。 - 使用公式 $x^i(k) = x^i(k - 1) + v^i(k)$ 更新每个粒子的位置。 3. **更新 $p^i$ 和 $p_g$**： - 对于每个粒子，如果 $J(x^i(k)) < J(p^i)$，则更新局部最优 $p^i := x^i(k)$。 - 更新全局最优 $p_g := \arg\min_{1\leq i\leq N} J(x^i(k))$。 4. **停止规则**： - 如果满足停止规则（例如达到最大迭代次数或没有进一步的改进），则终止算法；否则，返回步骤 2。 下面是标准 PSO 算法的流程图： ```mermaid graph TD; A[初始化] --> B[群体进化]; B --> C[更新 p^i 和 p_g]; C --> D{是否满足停止规则}; D -- 是 --> E[终止算法]; D -- 否 --> B; ``` ##### 1.3 初始化细节 - **粒子种群**：通常通过在搜索空间中按照均匀分布随机采样来生成初始粒子种群。 - **初始速度**：可以通过引入参数 $v_{max}$ 来定义采样空间 $V = \{v \in \mathbb{R}^{n_x} : -1v_{max} \leq v \leq 1v_{max}\}$，然后在该空间中按照均匀分布随机采样得到初始速度。 - **群体大小**：$N$ 是用户定义的参数，通常取值在 20 - 150 之间。 ##### 1.4 停止规则 - 简单的停止准则是固定最大迭代次数 $MaxIter$，但仅使用该准则不能保证算法收敛到最优解。 - 更优的方法是在经过一定次数的迭代 $N_I$ 后没有改进时停止算法，具体条件为： \[|J(p_g(k)) - J(p_g(k - N_I))| < \rho_{PSO}\] 其中，$k$ 是当前迭代次数，$\rho_{PSO}$ 是期望的最小改进水平，$p_g(l)$ 是第 $l$ 次迭代时找到的全局最优解。例如，$\rho_{PSO} = 0.001$，$N_I = 50$。 #### 2. 鲁棒优化（Robust Optimization） 在许多实际应用中，优化问题的某些参数存在不确定性。鲁棒优化旨在找到对参数不确定性相对不敏感的解。 ##### 2.1 问题描述 设 $\theta = (\theta_1, \cdots, \theta_{n_{\theta}})^T \in \mathbb{R}^{n_{\theta}}$ 是优化问题的参数向量，通常假设每个不确定参数 $\theta_i$ 取值于一个已知的有界区间 $[\underline{\theta}_i, \overline{\theta}_i]$，即 $\theta$ 位于一个 $n_{\theta}$ 维的超矩形 $\Theta$ 中： \[\Theta = \{\theta \in \mathbb{R}^{n_{\theta}} : \underline{\theta} \leq \theta \leq \overline{\theta}\}\] 鲁棒优化问题可以表示为： \[\begin{align*} \min_{x} &\quad f_0(x, \theta) \\ \text{s.t.} &\quad f_i(x, \theta) \leq 0, \quad i = 1, \