MATLAB机器人建模路径规划与运动学

 # 1. MATLAB机器人建模基础 ## 简介 在现代工业自动化和机器人技术领域中，MATLAB提供了一个强大的环境用于机器人建模、仿真和分析。本章旨在为读者介绍MATLAB在机器人建模方面的基础知识，为之后深入学习机器人运动学与路径规划打下坚实的基础。 ## MATLAB环境设置 开始使用MATLAB进行机器人建模之前，首先需要确保拥有适当的MATLAB版本，通常需要Robotics System Toolbox。用户可以通过MATLAB的Add-On Explorer安装此工具箱。此外，熟悉MATLAB基本操作和编程也是必要的前提条件。 ## 基本概念与术语 机器人建模涉及多个基本概念，包括但不限于坐标系、关节类型、运动副以及它们之间的关系。理解和掌握这些术语是进行更复杂建模任务的先决条件。例如，描述一个机器人的位置和方向通常需要使用三维空间中的齐次坐标系。 下面的代码块演示如何在MATLAB中创建一个简单的三维齐次坐标矩阵： ```matlab % 定义一个点的齐次坐标矩阵 point = [x, y, z, 1]; % 使用齐次坐标进行矩阵变换 transformed_point = homogeneous_matrix * point; ``` 在上述代码中，`homogeneous_matrix`是一个4x4矩阵，它能够表示一个点在三维空间中的平移和旋转。这是MATLAB建模中最常用的操作之一，对于入门者来说，理解这个矩阵的结构和变换的原理至关重要。随着学习的深入，我们将进一步探讨如何用MATLAB建立更复杂的机器人模型。 # 2. 机器人运动学理论基础 ## 2.1 运动学方程的数学原理 ### 2.1.1 齐次变换矩阵 在机器人学中，齐次变换矩阵是用来描述机器人各个关节或连杆在空间中的位置和姿态的一种数学工具。它将三维空间中的坐标转换和旋转统一到了一个4x4的矩阵中。 一个齐次变换矩阵 H 可以用下面的数学形式表示： ``` H = | R p | | 0 1 | ``` 其中，R 是一个3x3的旋转矩阵，p 是一个3x1的位置向量。矩阵的底部行 `| 0 1 |` 确保了齐次坐标中的齐次性质。 在齐次坐标中，一个点 p 在空间中的坐标可以表示为： ``` p = (x, y, z, 1) ``` 使用齐次变换矩阵 H，该点变换到新位置 p' 的计算公式为： ``` p' = H * p ``` 接下来通过一个具体的例子，我们可以更好地理解齐次变换矩阵的应用。假设有一个二维平面的机器人手臂，我们有一个基座点的坐标为 (1, 1)，我们要将其旋转45度同时平移(1, 0)。我们可以用下面的步骤来构建对应的齐次变换矩阵： ```matlab % 定义旋转角度(弧度) theta = pi / 4; % 构建旋转矩阵 R = [cos(theta) -sin(theta); sin(theta) cos(theta)]; % 定义平移向量 p = [1; 0]; % 构建齐次变换矩阵 H = [R p; [0 0 1]]; % 原始坐标点 original_point = [1; 1; 1]; % 执行变换 transformed_point = H * original_point; % 展示结果 disp(transformed_point); ``` ### 2.1.2 逆运动学求解方法 逆运动学是指给定机器人末端执行器（通常是机械手）的位置和姿态，计算出各个关节需要到达的位置，以便末端执行器能够达到目标状态。逆运动学的求解通常要比正运动学复杂得多，特别是在具有多个自由度的复杂机器人系统中。 求解逆运动学的一般方法包括解析方法和数值方法： - **解析方法**：尝试直接求解运动学方程以获得精确解。对于某些特定类型的机器人，例如工业机器臂，可以通过代数运算找到封闭形式的解。 - **数值方法**：当解析方法无法获得解或解不易得到时，可以使用迭代算法逐步逼近解。 例如，在MATLAB中，我们可以使用`fsolve`函数，这是一个基于牛顿法的数值求解器，来求解逆运动学问题： ```matlab function q = inverse_kinematics(target_position, current_q) % 目标位置和当前关节角度作为函数输入 % q 是求解得到的关节角度向量 % 定义一个函数，该函数对于给定的关节角度计算末端执行器位置 function error = forward_kinematics(q) % forward_kinematics 是正运动学模型 % 计算末端执行器位置并返回与目标位置的误差 % ... % error = target_position - computed_position; end % 使用 fsolve 求解逆运动学方程 options = optimoptions('fsolve', 'Display', 'iter'); % 显示迭代过程 q = fsolve(@(q) forward_kinematics(q), current_q, options); end ``` **参数说明：** - `target_position`: 目标末端执行器的位置向量。 - `current_q`: 当前关节角度的向量。 - `fsolve`: MATLAB中的数值求解器，用于求解非线性方程组。 - `options`: 设置优化选项，其中`'Display', 'iter'`使优化过程显示每一步的迭代信息。 **代码逻辑：** - `inverse_kinematics`函数定义了逆运动学求解的框架。 - `forward_kinematics`是正运动学模型，需要根据机器人的实际结构来编写。 - `fsolve`用于求解非线性方程组，即逆运动学问题，其中目标函数为`forward_kinematics`，初始猜测为`current_q`，优化选项为`options`。 接下来的章节将继续深入探讨机器人正运动学和逆运动学分析的具体内容。 # 3. MATLAB在运动学分析中的应用 ## 3.1 MATLAB中的机器人工具箱 ### 3.1.1 工具箱简介和安装 在进行机器人运动学分析之前，MATLAB提供了一个功能强大的机器人工具箱（Robotics Toolbox），它是由Peter Corke开发的，用于模拟和分析机器人操作和运动学。工具箱包含了许多有用的函数，能够方便地创建机器人模型，绘制机器人，计算运动学正解和逆解，并且进行轨迹规划。工具箱涵盖了机器人从基础运动学到动态仿真和路径规划的全方位需求。 安装过程相对简单，可以使用MATLAB自带的Add-On Explorer进行安装，也可以从工具箱的官方网站下载后进行手动安装。安装完毕后，可通过在MATLAB命令窗口输入`>> roboticsToolbox`来检查是否安装成功。 ### 3.1.2 工具箱中的函数和类 工具箱中包含了大量的函数和类，比如用于创建机器人模型的`SerialLink`类，用于绘制机器人的`plot`函数，以及用于运动学分析的`fkine`（正运动学）和`ikine`（逆运动学）函数。通过这些函数和类，我们可以快速搭建起一个机器人模型，并进行各种运动学分析。 例如，创建一个简单的2R机械臂模型可以使用以下命令： ```matlab L(1) = Link([0 0.5 pi/2 0 0 0], 'standard'); L(2) = Link([0 0.5 0 0 0 0], 'standard'); robot = SerialLink(L, 'name', 'Two link planar robot'); ``` 这段代码定义了一个两连杆的平面机器人，并为其创建了一个`SerialLink`对象。 ## 3.2 MATLAB运动学模拟 ### 3.2.1 正运动学的模拟实现 正运动学描述了机器人末端执行器的位置和姿态与其关节角度之间的关系。使用`fkine`函数，我们可以模拟出机器人末端的位姿。 假设我们已有一个名为`robot`的机器人模型，其关节角度为`q = [0.1, 0.2]`，我们可以这样计算正运动学： ```matlab q = [0.1, 0.2]; T = robot.fkine(q); disp(T); ``` 这里，`T