特征方程：理论与方法解析

### 特征方程：理论与方法解析 在量子图的研究中，特征方程是确定磁薛定谔算子谱的关键工具。本文将详细介绍两种确定特征方程的方法，即边转移矩阵法和散射法，并分析它们的特点和应用。 #### 1. 特征方程 I：边转移矩阵法 边转移矩阵法是一种常用的确定特征方程的方法。对于有限紧致图 $\Gamma$，对应的磁薛定谔算子 $L_{q,a}^{SLS}$ 的特征值是特征方程 (5.20) 的解，其重数与线性系统 (5.19) 的线性无关解的数量一致。 ##### 1.1 特征方程的推导 特征方程 (5.20) 为： \[ \det \begin{pmatrix} \mathrm{diag} \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} t_{11}^n(k) & -1 \\ t_{21}^n(k) & 0 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}_{n = 1}^{N} & \mathrm{diag} \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} t_{12}^n(k) & 0 \\ t_{22}^n(k) & 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}_{n = 1}^{N} \\ & \\ i(\mathbf{I} - \mathbf{S}) & \mathbf{I} + \mathbf{S} \end{pmatrix} = 0 \] 该方程确定了 $L_{q,a}^{SLS}$ 的谱。 ##### 1.2 特征方程的简化 为了减少复杂图中线性方程的数量，引入了 $N$ 维向量： \[ \vec{\Psi}^{\mathrm{odd}} = \{\psi(x_{2n - 1})\}_{n = 1}^{N}, \quad \partial\vec{\Psi}^{\mathrm{odd}} = \{\partial\psi(x_{2n - 1})\}_{n = 1}^{N} \] \[ \vec{\Psi}^{\mathrm{even}} = \{\psi(x_{2n})\}_{n = 1}^{N}, \quad \partial\vec{\Psi}^{\mathrm{even}} = \{\partial\psi(x_{2n})\}_{n = 1}^{N} \] 定义 $N\times N$ 矩阵 $T_{ij} = \mathrm{diag}\{t_{ij}^n\}_{n = 1}^{N}, i, j = 1, 2$，则方程 (5.14) 可改写为： \[ \begin{pmatrix} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{\Psi}^{\mathrm{odd}} \\ \partial\vec{\Psi}^{\mathrm{odd}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{\Psi}^{\mathrm{even}} \\ -\partial\vec{\Psi}^{\mathrm{even}} \end{pmatrix} \] 通过一系列推导，得到简化后的特征方程 (5.26)： \[ \det \left\{ i(\mathbf{S}^{\mathrm{o,e}} - \mathbf{I}_{2N}) \begin{pmatrix} \mathbf{I}_{N} & \mathbf{0}_{N} \\ T_{11}(\lambda) & T_{12}(\lambda) \end{pmatrix} + (\mathbf{S}^{\mathrm{o,e}} + \mathbf{I}_{2N}) \begin{pmatrix} \mathbf{0}_{N} & -\mathbf{I}_{N} \\ T_{21} & T_{22} \end{pmatrix} \right\} = 0 \] ##### 1.3 示例：环形图 考虑由一条边 $[x_1, x_2]$ 组成的环形图 $\Gamma_{(2.1)}$，使用特征方程 (5.20) 和 (5.26) 计算其标准拉普拉斯算子的谱。 - 特征方程 (5.20) 为： \[ \det \begin{bmatrix} \cos k\ell_1 & -1 & \frac{\sin k\ell_1}{k} & 0 \\ -k\sin k\ell_1 & 0 & \cos k\ell_1 & 1 \\ i & -i & 1 & 1 \\ -i & i & 1 & 1 \end{bmatrix} = 0 \] 化简得 $4i(1 - \cos k\ell_1) = 0$。 - 特征方程 (5.26) 同样得到 $4i(1 - \cos k\ell_1) = 0$。 该方程的解为 $k_n = \frac{2\pi}{\ell_1}n, n = 0, 1, 2, \cdots$。通过分析矩阵的秩，可知非零 $n$ 对应的特征值重数为 2，$n = 0$ 对应的特征值重数为 1。 ##### 1.4 方法总结 边转移矩阵法具有普遍性，能够确定整个谱及其正确的重数，适用于任何紧致有限图和任何顶点条件。然而，该方法也存在一些缺点，如未利用转移矩阵系数的解析性质，图的拓扑结构不明显，对于标准顶点条件没有明