离散时间傅里叶变换与离散傅里叶变换详解

### 离散时间傅里叶变换与离散傅里叶变换详解 #### 1. 离散时间傅里叶变换（DTFT）概述 离散时间傅里叶变换（DTFT）为信号和系统提供了频域表示，它推广了离散时间信号频谱的概念。通过推广频率响应的概念得到DTFT，并展示了如何利用逆变换获得各种理想滤波器的脉冲响应。因此，DTFT在基于矩形和汉明窗的实际滤波器设计中起着重要作用。 #### 2. DTFT对与性质 - **DTFT对**：常见的DTFT对如下表所示： | 时域 \(x[n]\) | 频域 \(X(e^{j\hat{\omega}})\) | | --- | --- | | \(\delta[n]\) | 1 | | \(\delta[n - n_d]\) | \(e^{-j\hat{\omega}n_d}\) | | \(r_L[n] = u[n] - u[n - L]\) | \(\frac{\sin(\frac{1}{2}L\hat{\omega})}{\sin(\frac{1}{2}\hat{\omega})}e^{-j\hat{\omega}(L - 1)/2}\) | | \(r_L[n]e^{j\hat{\omega}_0n}\) | \(\frac{\sin(\frac{1}{2}L(\hat{\omega} - \hat{\omega}_0))}{\sin(\frac{1}{2}(\hat{\omega} - \hat{\omega}_0))}e^{-j(\hat{\omega} - \hat{\omega}_0)(L - 1)/2}\) | | \(\frac{\sin(\hat{\omega}_b n)}{\pi n}\) | \(\begin{cases}1, & \vert\hat{\omega}\vert\leq\hat{\omega}_b \\ 0, & \hat{\omega}_b < \vert\hat{\omega}\vert\leq\pi\end{cases}\) | | \(a^n u[n](\vert a\vert < 1)\) | \(\frac{1}{1 - ae^{-j\hat{\omega}}}\) | | \(-b^n u[-n - 1](\vert b\vert > 1)\) | \(\frac{1}{1 - be^{-j\hat{\omega}}}\) | - **DTFT性质**：DTFT具有多种性质，如下表所示： | 性质名称 | 时域 \(x[n]\) | 频域 \(X(e^{j\hat{\omega}})\) | | --- | --- | --- | | \(\hat{\omega}\) 周期性 | \(X(e^{j(\hat{\omega}+2\pi)}) = X(e^{j\hat{\omega}})\) | | | 线性 | \(ax_1[n] + bx_2[n]\) | \(aX_1(e^{j\hat{\omega}}) + bX_2(e^{j\hat{\omega}})\) | | 共轭对称 | \(x[n]\) 为实信号 | \(X(e^{-j\hat{\omega}}) = X^*(e^{j\hat{\omega}})\) | | 共轭 | \(x^*[n]\) | \(X^*(e^{-j\hat{\omega}})\) | | 时间反转 | \(x[-n]\) | \(X(e^{-j\hat{\omega}})\) | | 延迟 | \(x[n - n_d]\) | \(e^{-j\hat{\omega}n_d}X(e^{j\hat{\omega}})\) | | 频移 | \(x[n]e^{j\hat{\omega}_0n}\) | \(X(e^{j(\hat{\omega}-\hat{\omega}_0)})\) | | 调制 | \(x[n]\cos(\hat{\omega}_0n)\) | \(\frac{1}{2}X(e^{j(\hat{\omega}-\hat{\omega}_0)}) + \frac{1}{2}X(e^{j(\hat{\omega}+\hat{\omega}_0)})\) | | 卷积 | \(x[n] * h[n]\) | \(X(e^{j\hat{\omega}})H(e^{j\hat{\omega}})\) | | 自相关 | \(x[-n] * x[n]\) | \(\vert X(e^{j\hat{\omega}})\vert^2\) | | 帕塞瓦尔定理 | \(\sum_{n = -\infty}^{\infty}\vert x[n]\vert^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\vert X(e^{j\hat{\omega}})\vert^2d\hat{\omega}\) | | #### 3. DTFT相关问题 以下是一些与DTFT相关的问题及求解示例： - **求序列的DTFT**： - 例如，求 \(x_1[n] = 2\delta[n - 3]\) 的DTFT，根据DTFT性质，\(X_1(e^{j\hat{\omega}}) = 2e