从达尔文进化到群体计算：差分进化算法的社交网络分析

# 从达尔文进化到群体计算：差分进化算法的社交网络分析 ## 1. 进化算法与群体动力学简介 进化算法（EAs）和群体智能常被用于解决复杂的优化问题，在工程、机器人、经济、物理、化学、图像处理、数据挖掘、安全、神经网络、医学等众多研究领域有着广泛的应用。自图灵描述图灵机、霍兰德引入遗传算法（GA）、艾根提出进化策略（ES）、斯托恩和普莱斯提出差分进化（DE）以及肯尼迪引入粒子群优化（PSO）以来，许多新颖的进化和群体算法不断涌现，并且每个基本算法都衍生出了许多增强变体。 复杂网络在很多研究中被用于建模包含数百甚至数千个高度互联动态实体的系统行为，对这类网络的分析带来了有价值的知识。进化和群体算法中的种群也可能包含大量在进化过程中状态不断变化的个体，这些算法中的种群与上述系统存在相似性，种群中的个体就像复杂系统中的单元一样高度互联。我们希望生成一个能尽可能反映所选进化和群体算法行为的网络，以此深入分析种群中个体之间的关系，这种分析被视为开发增强算法的起点。 ## 2. 社交网络基础 ### 2.1 社交网络的研究历史与表示 社交网络（SNs）过去受到了社会学、心理学、人类学和数学等不同领域科学家的研究。20世纪30年代，莫雷诺开发了社会关系图，这是一种用于表示人际关系的工具。在社会关系图中，社会单元用点表示，它们之间的关系用二维空间中连接相应点的线表示。此后，社会关系图被世界各地的许多研究人员使用。例如，劳曼和帕皮、劳曼和诺克用它来表示社区精英之间的影响结构；有人用它来表示群体中的角色结构，还有人用它来研究小群体中的互动模式。 ### 2.2 社交网络的形式化表示 从形式上看，社交网络可以用有向或无向图 $G = (N, L)$ 表示，其中 $N$ 表示节点集，代表一组参与者（actors），如班级里的学生、医院里的医生等；$L$ 表示节点对之间的线集。两个参与者之间的关系通常用图中连接两个节点的线表示，线可以是有向的（弧）或无向的（边）。在有向图中，弧的最大数量为 $g(g - 1)$（$g$ 为节点数）；在无向图中，线集 $L$ 最多包含 $g(g - 1)/2$ 条线。 社交网络中可能存在多种类型的关系，这种网络被称为多关系网络，关系的数量用 $R$ 表示，每种关系都可以用一个有向或无向图表示，所有关系的节点集相同，但每种关系都有对应的弧（边）集 $Lr$。 ### 2.3 社交网络的应用 自20世纪30年代以来，许多关于社交网络分析方法的研究不断涌现。社交网络也成功用于理解一些现实世界的现象，比如研究大学生前两个学期的乐观、应对和心理调整的作用，分析社会关系模式及其对社会化的影响，探讨社会关系背景与个人创造力的联系，分析稀疏移动自组织网络（MANETs）中的路由，研究网络结构如何影响健康行为在在线社交网络中的传播，以及将社交网络分析作为创建和比较心理模型的工具等。 ## 3. 基于社交网络的差分进化算法分析 ### 3.1 差分进化算法概述 差分进化（DE）由斯托恩和普莱斯在1995年提出，并在1996年的第一届国际进化优化竞赛中获得了所提基准的第三名。DE属于进化算法家族，其原理受生物进化启发。DE处理包含 $NP$ 个个体的种群 $P_x^G$，个体用 $D$ 维实值参数向量 $x_i^G$ 表示： \[ x_i^G = \{x_{i,0}^G, x_{i,1}^G, \cdots, x_{i,D - 1}^G\}, P_x^G = \{x_0^G, x_1^G, \cdots, x_{NP - 1}^G\} \] 其中 $G$ 表示代数，范围是 $0, \cdots, G_{max}$。每个参数都有其搜索范围，上下界分别用 $D$ 维向量 $b_U$ 和 $b_L$ 表示。初始种群 $P_x^0$ 由在规定范围内随机生成的向量组成： \[ x_{i,j}^0 = rand_j(0,1) \cdot (b_{j,U} - b_{j,L}) + b_{j,L} \] 其中 $rand_j(0,1)$ 是第 $i$ 个个体第 $j$ 个参数在 $[0,1]$ 范围内均匀分布的随机数。 ### 3.2 差分进化算法的操作步骤 当种群初始化后，使用变异和交叉操作生成试验向量，选择操作决定哪个向量将进入下一代。与遗传算法不同，DE在交叉操作之前进行变异操作。对于每个目标向量 $x_i^G$，根据以下公式生成变异向量（也称为供体向量）： \[ v_i^G = x_{r_1}^G + F \cdot (x_{r_2}^G - x_{r_3}^G) \] 其中 $x_{r_1}^G$、$x_{r_2}^G$ 和 $x_{r_3}^G$（$r_1 \neq r_2 \neq r_3 \neq i$）是从当前种群中随机选择的解向量，$F$ 是缩放因子。随机选择的解向量必须彼此不同且不同于目标向量 $i$，因此种群至少需要包含四个个体。如果生成的供体向量 $v_i^G$ 中的参数不在预定义范围内，这些参数将在可能的解空间中重新随机生成。 交叉操作的主要作用是结合供体向量 $v_i^G$ 和目标向量 $x_i^G$ 的参数来构造试验向量 $u_i^G$。交叉方法有二项式和指数式两种，这里使用的是DE算法结合二项式交叉。在二项式交叉开始时，从区间 $[0, D - 1]$ 生成一个随机整数 $j_m$，以确保至少有一个参数来自供体向量。然后，对于每个个体参数（从1到 $D$），生成一个在 $[0,1]$ 区间均匀分布的随机实数 $rn(j)$。如果 $rn(j)$ 的值不大于交叉率 $CR$ 或者参数 $j$ 的索引等于 $j_{rn}$，则试验向量的该参数取供体向量的对应参数；否则，取目标向量的参数。二项式交叉可以用以下公式概括： \[ u_{i,j}^G = \begin{cases} v_{i,j}^G, & \text{if } rn(j) \leq CR \text{ or } j = j_{rn} \\ x_{i