2.1D草图与分层表示：混合MRF与曲线生成模型解析

### 2.1D草图与分层表示：混合MRF与曲线生成模型解析 #### 1. 混合MRF及其图形表示 在二维表示的图形中，存在两种节点：区域节点（传统MRF中的节点）和终结节点（新引入的地址节点集）。终结节点是在区域分层过程中从3度交点动态拆分出来的，这意味着它们的邻域系统是动态确定的。 设 $G = \langle V, E \rangle$ 为二维表示的图，其中 $V = V_R \cup V_B$ 是顶点集，$E = E_R \cup E_B$ 是边集。$E_R$ 是将区域连接成区域邻接图的边集，$E_B$ 是连接开放键的动态边集。 在混合MRF中，地址变量的引入使邻域系统具有动态性，与传统图形模型不同。混合MRF可以像MRF一样定义为一个概率分布，它可以分解为局部项的乘积，只是引入地址变量后“局部”的含义有所不同。混合MRF中的“局部性”概念可以通过开放键处理长距离交互，即混合MRF中的团 $C$ 可能同时包含标准区域节点和地址节点。 以下是相关定义： - **定义1（混合邻域势）**：设 $C$ 表示 $G$ 中的团集。如果对于任何一对配置 $x$ 和 $y$，$x_C = y_C$ 且对于所有 $a \in C \cap V_B$，$x_{x_a} = y_{y_a}$，则非负函数族 $\lambda_C$ 称为混合邻域势。因此，混合势函数 $\lambda_C$ 取决于 $C$ 中标准节点的值以及 $C$ 中开放键所指向的节点的值。 - **定义2（混合马尔可夫随机场）**：定义在 $G$ 上的概率分布 $P$ 是混合MRF，如果 $P$ 可以分解为团上混合势函数的乘积：$P(\mathbf{I}) \propto \prod_{C} \lambda_C(\mathbf{I}_C, \mathbf{I}_{\mathbf{I}_C})$，其中 $\mathbf{I}_{\mathbf{I}_C}$ 是团 $C$ 内指向的标准变量的状态向量。 混合MRF与吉布斯分布之间存在等价关系，根据Hammersley - Clifford定理，最初建立的MRF与吉布斯分布之间的等价关系也适用于混合MRF，因此在混合MRF上定义的概率模型可以通过吉布斯采样或SW切割进行模拟。 给定一个区域 $R_i$，其邻域为： $N(R_i) = N_{adjacency}(R_i) \cup N_{pointer}(R_i)$ 其中 $N_{adjacency}(R_i) = \{R_j : \forall R_j \in V_R \text{ 与 } R_i \text{ 相邻}\}$ 表示MRF模型中常见的邻域定义，并定义了一个邻接图。同时，$R_i$ 的开放键会使其连接到非局部相邻的区域，即 $N_{pointer}(R_i) = \{R_j : B(R_j) \text{ 和 } B(R_i) \text{ 相连}\}$。 则 $E_R$ 为： $E_R = \{\langle R_i, R_j \rangle, \text{ 对于所有 } R_i \in V_R \text{ 和 } R_j \in N(R_i)\}$ 给定一个开放键 $a_i \in V_B$，其邻域为： $N(a_i) = \{a_j : a_j \text{ 和 } a_i \text{ 在同一层}\}$ 因此，$E_B = \langle a_i, a_j \rangle$，对于所有 $a_i \in V_T$ 和 $a_j \in N(a_i)$。在初始阶段，所有开放键都是开放的。 #### 2. 贝叶斯公式 在贝叶斯框架下，三层模型可描述为： $p(\mathbf{I}, W_{2D}, W_{2.1D}) = p(\mathbf{I} | W_{2D}, W_{2.1D}) p(W_{2D} | W_{2.1D}) p(W_{2.1D})$ 其中 $p(\mathbf{I} | W_{2D}, W_{2.1D})$ 是似然模型。我们希望在解空间 $\Omega_{W_{2.1D}}$ 中最大化给定 $W_{2D}$ 时 $W_{2.1D}$ 的后验联合概率： $W_{2.1D}^* = \arg \max_{\Omega_{W_{2.1D}}} p(W_{2.1D} | W_{2D}; \mathbf{I}) = \arg \max_{\Omega_{W_{2.1D}}} p(W_{2D} | W_{2.1D}) p(W_{2.1D})$ 从图划分的角度来看，给定用混合MRF定义的图形表示 $G$，我们对 $G$ 中顶点 $V = V_R \cup V_B$ 的划分或着色感兴趣。$n$ - 划分表示为： $\pi_n = (V_1, V_2, \cdots, V_n)$，$\bigcup_{i = 1}^{n} V_i = V$，$V_i \cap V_j = \varnothing$，对于所有 $i \neq j$ 每个子集 $V_i$（在2.1D表示中是一个表面）被分配一种颜色 $c_i$ 来表示其模型。对于区域节点，该模型包含分层信息；对于开放键，该模型包含连接的轮廓。设 $\Omega_{\pi_n}$ 是 $V$ 的所有可能 $n$ - 划分的空间，$\Omega_{l_r}$ 是区域模型类型的集合，$\Omega_{\theta_r}$ 是模型参数族，$\Omega_{l_c}$ 是弹性曲线类型的集合，$\Omega_{\theta_c}$ 是弹性曲线参数空间。因此，$W_{2.1D}$ 的解空间为： $\Omega = \bigcup_{n = 1}^{N} \{\Omega_{\pi_n} \times \Omega_{l_r}^n \times \Omega_{\theta_{r1}} \times \cdots \times \Omega_{\theta_{rn}} \times \Omega_{l_c}^n \times \Omega_{\theta_{c1}} \times \cdots \times \Omega_{\theta_{cn}}\}$ 这促使我们扩展Swendsen - Wang切割算法进