序列设计算法：从单序列到多序列的优化探索

### 序列设计算法：从单序列到多序列的优化探索 在信号处理和雷达等领域，设计具有良好相关性的序列是一个重要的研究课题。本文将深入探讨相关算法，包括GSA、CAN以及多种多序列设计算法，分析它们的原理、特点和应用场景。 #### 1. GSA与CAN算法基础 在设计具有脉冲状非周期或周期相关性的码序列问题中，通常会涉及到最小化特定准则。有两个重要的准则： - **准则C(x)**：其形式与推导过程涉及一系列公式，如通过对函数 \(D(x, \varphi)\) 进行最小化操作，可得到 \(C(x)\)。具体而言，\(D(x, \varphi)\) 定义为： \[ D(x, \varphi)=\sum_{k = 1}^{K}\left(\left|a_{k}^{H}x\right|^{2}+d_{k}^{2}-2\left|a_{k}^{H}x\right|d_{k}\cos\left(\arg(a_{k}^{H}x)-\varphi_{k}\right)\right) \] 对其关于 \(\varphi\) 求最小值可得： \[ \min_{\varphi}D(x, \varphi)=\sum_{k = 1}^{K}\left(\left|a_{k}^{H}x\right|-d_{k}\right)^{2}=C(x) \] 通过循环算法，固定 \(\varphi\) 对 \(x\) 求 \(D(x, \varphi)\) 的最小值，再固定 \(x\) 对 \(\varphi\) 求最小值，可得到GSA算法。该算法能使准则值单调递减，即 \(C(x_{i}) = D(x_{i}, \varphi_{i + 1})\geq D(x_{i + 1}, \varphi_{i + 2}) = C(x_{i + 1})\)。 - **准则 \(\tilde{C}(x)\)**：形式为 \(\tilde{C}(x)=\sum_{k = 1}^{K}\left(\left|a_{k}^{H}x\right|^{2}-d_{k}^{2}\right)^{2}\)，它与 \(C(x)\) 虽看似相似，但存在重要差异。由于 (2.55) - (2.57) 对 \(\tilde{C}(x)\) 不成立，不能直接用基于 (2.55) 和 (2.56) 的方法推导GSA类型的算法。不过，可以定义 \(\tilde{D}(x, \varphi)=\sum_{k = 1}^{K}\left|\left|a_{k}^{H}x\right|^{2}-d_{k}^{2}e^{j\varphi_{k}}\right|^{2}\)，满足 \(\min_{\varphi}\tilde{D}(x, \varphi)=\tilde{C}(x)\)，但最小化 \(\tilde{D}(x, \varphi)\) 并不比最小化 \(\tilde{C}(x)\) 容易。 为解决 \(\tilde{C}(x)\) 的最小化问题，在某些条件下，发现最小化 \(\tilde{C}(x)\) 几乎等同于最小化 \(D(x, \varphi)\)。基于此，引入了CAN和PeCAN两种循环算法来最小化 \(D(x, \varphi)\)。这两种算法形式与GSA类似，但最小化 \(D(x, \varphi)\) 不一定能解决 \(\tilde{C}(x)\) 的最小化问题，且不能保证 \(\tilde{C}(x)\) 随迭代单调递减，只有 \(D(x, \varphi)\) 能保证。此外，WeCAN和多序列CAN算法虽与GSA基本原理相关，但联系相对较弱，可看作是GSA对更复杂问题的扩展。 #### 2. 多序列设计的背景与需求 在许多应用中，如MIMO雷达和CDMA系统，需要一组具有良好相关性的序列。MIMO雷达发射正交波形时，能获得比相控阵雷达更大的虚拟孔径，从而带来更好的检测性能、参数可识别性、分辨率以及自适应阵列技术的直接适用性。在波形集设计（多波形设计）中，涉及自相关和互相关两个方面。良好的自相关意味着发射波形与其时移版本几乎不相关，良好的互相关则表示任何发射波形与其他时移发射波形几乎不相关，这有助于降低接收信号受到相关多径或杂波干扰的风险。 #### 3. 多序列设计算法 ##### 3.1 Multi - CAN算法 Multi - CAN算法旨在最小化以下度量： \[ E=\sum_{m = 1}^{M}\sum_{n=-N + 1,n\neq0}^{N - 1}\left|r_{mm}(n)\right|^{2}+\sum_{m_{1}=1}^{M}\sum_{m_{2}=1,m_{2}\neq m_{1}}^{M}\sum_{n=-N + 1}^{N - 1}\left|r_{m_{1}m_{2}}(n)\right|^{2} \] 其中，\(r_{m_{1}m_{2}}(n)\) 为序列 \(\{x_{m_{1}}(k)\}_{k = 1}^{N}\) 和 \(\{x_{m_{2}}(k)\}_{k = 1}^{N}\) 在滞后 \(n\) 处的（非周期）互相关，定义为 \(r_{m_{1}m_{2}}(n)=\sum_{k=n + 1}^{N}x_{m_{1}}(k)x_{m_{2}}^{*}(k - n)=r_{m_{2}m_{1}}^{*}(-n)\)。当 \(m_{1}=m_{2}\) 时，即为自相关。 为便于讨论，引入以下符号： - 发射波形矩阵 \(X = [x_{1}\ x_{2}\ \cdots\ x_{M}]_{N\times M}\)，其中 \(x_{m}=[x_{m}(1)\ x_{m}(2)\ \cdots\ x_{m}(N)]^{T}\) 为第 \(m\) 个波形。 - 不同时滞的波形协方差矩阵 \(R_{n}=\begin{bmatrix}r_{11}(n)&r_{12}(n)&\cdots&r_{1M}(n)\\r_{21}(n)&r_{22}(n)&\cdots&r_{2M}(n)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\r_{M1}(n)&\cdots&\cdots&r_{MM}(n)\end{bmatrix}\)，\(n=-N + 1,\cdots,0,\cdots,N - 1\)。 - 移位矩阵 \(J_{n}=\begin{bmatrix}\underbrace{0\cdots0}_{n + 1}&1&0&\cdots&1&0\end{bmatrix}_{N\times N}=J_{-n}^{T}\)，\(n = 0,\cdots,N - 1\)，则 \(R_{n}=(X^{H}J_{n}X)^{T}=R_{-n}^{H}\)，\(n = 0,\cdots,N - 1\)。 度量 \(E\) 可更紧凑地表示为 \(E=\|R_{0}-NI_{M}\|^{2}+2\sum_{n = 1}^{N - 1}\|R_{n}\|^{2}=\sum_{n=-(N - 1)}^{N - 1}\|R_{n}-NI_{M}\delta_{n}\|^{2}\)。通过Parseval型等式，可进一步转化为： \[ E=\frac{1}{2N}\sum_{p = 1}^{2N}\left\|\Phi(\omega_{p})-NI_{M}\right\|^{2} \] 其中，\(\Phi(\omega)=\sum_{n=-N + 1}^{N - 1}R_{n}e^{-j\omega n}\) 是向量序列 \([x_{1}(n)\ \cdots\ x_{M}(n)]^{T}\) 的谱密度矩阵，\(\omega_{p}=\frac{2\pi}{2N}p\)，\(p = 1,\cdots,2N\)。\(\Phi(\omega)\) 可写成 “周期图” 形式 \(\Phi(\omega)=\tilde{y}(\omega)\tilde{y}^{H}(\omega)\)，其中 \(\tilde{y}(\omega)=\sum_{n = 1}^{N}y(n)e^{-j\omega n}\)，\(y(n)=[x_{1}(n)\ x_{2}(n)\ \cdots\ x_{M}(n)]^{T}\)。 为简化问题，将 \(E\) 转化为关于 \(\{x_{m}(n)\}\) 的二次准则函数。考虑以下最小化问题： \[ \min_{X,\{\alpha_{p}\}_{p = 1}^{2N}}\sum_{p =