夸克流算符乘积展开及其应用与大质量展开

### 夸克流算符乘积展开及其应用与大质量展开 在高能物理的研究中，渐近展开是一种重要的工具，它能帮助我们在特定极限下简化复杂的计算。本文将介绍离壳大动量展开、夸克流算符乘积展开（OPE）及其应用，以及大质量展开的相关内容。 #### 离壳大动量展开与夸克流算符乘积展开 离壳大动量展开的图形表示如图4.4所示。通过从对Γ和γ求和转换为对γ′ = Γ/γ和γ求和，我们可以区分具有给定外部线条数l且不包含大外部动量q的图γ的贡献。图4.4右侧的第一个因子可视为复合算符的格林函数，第二个因子则是OPE（4.62）中用一般单项式基表示的相应系数函数。 OPE在计算e⁺e⁻湮灭产生强子的总截面时有着经典应用。总截面用比值R(s)表示： \[R(s) \equiv \frac{\sigma(e^+e^-\to\text{hadrons})}{\sigma_0}\] 其中，s = q²是质心能量，σ₀ = 4πα²/(3s)是e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻反应的截面。在微扰量子色动力学（QCD）的前两阶，R(s)可直接计算： \[R(s) = R^{(0)}(s) + \frac{\alpha_s}{\pi}R^{(1)}(s) + \left(\frac{\alpha_s}{\pi}\right)^2R^{(2)}(s) + \cdots\] 其中： \[R^{(0)}(s) = \frac{3}{2}\beta(3 - \beta^2)\] \[R^{(1)}(s) = \frac{3}{2}(3 - \beta^2)\left[(1 + \beta^2)\left(2\text{Li}_2\left(\frac{1 - \beta}{1 + \beta}\right) + \text{Li}_2\left(\left(\frac{1 - \beta}{1 + \beta}\right)^2\right)\right) + \ln\frac{1 - \beta}{1 + \beta}\ln\frac{8\beta^2}{(1 + \beta)^3} - 2\beta\ln\frac{8\beta^2}{(1 + \beta)^3} + \left(\frac{3\beta - 33 + 22\beta^2 - 7\beta^4}{8(3 - \beta^2)}\right)\ln\frac{1 - \beta}{1 + \beta} + \frac{3\beta(5 - 3\beta^2)}{4(3 - \beta^2)}\right]\] 这里，\(\text{Li}_2(z)\)是二重对数函数，\(\beta = \sqrt{1 - \frac{4m^2}{s}}\)。 在大s值时，自然会使用OPE，即对大q极限下的流乘积进行展开。考虑到横向结构，OPE（4.53）可重写为： \[T\tilde{J}_\mu(q)J_\nu(0) \sim \frac{q_\mu q_\nu - g_{\mu\nu}q^2}{(q^2)^2}\sum_i\tilde{C}_i(q)O_i(0)\] 对于单夸克味（nf = 1）且质量为m的情况，直到四维的复合算符及其非零真空期望值如下： | 算符 | 表达式 | | ---- | ---- | | \(O_0\) | 1 | | \(O_2\) | \(m^21\) | | \(O_{4,1}\) | \(m^41\) | | \(O_{4,2}\) | \(G^{a,\mu\nu}G^a_{\mu\nu}\) | | \(O_{4,3}\) | \(m\bar{\psi}\psi\) | 还有三个四维算符： \[O_{4,4} = \bar{\psi}\left(i\stackrel{\leftrightarrow}{/D}/2 - m\right)\psi\] \[O_{4,5} = A^a_\nu\left(\nabla^{ab}_\mu G^{b,\mu\nu} + g\bar{\psi}t^a\gamma_\nu\psi\right) - \partial_\mu\bar{c}^a\partial^\mu c^a\] \[O_{4,6} = (\nabla^{ab}_\mu\partial^\mu\bar{c}^b)c^a\] 其中，\(\nabla^{ab}_\mu = \delta^{ab}\partial_\mu - gf^{abc}A^c_\mu\)，\(t^a\)是SU(N)生成元。不过，算符\(O_{4,4}\)因运动方程而消失，算符\(O_{4,5}\)和\(O_{4,6}\)由于不具有规范不变性，对OPE无实际贡献。 对应的投影算符如下： \[\Pi_0(F) = \langle F\rangle_{\text{amp}}|_{m^2 = 0}\] \[\Pi_2(F) = \frac{\partial}{\partial m^2}\langle F\rangle_{\text{amp}}\big|_{m^2 = 0}\] \[\Pi_{4,1}(F) = \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial(m^2)^2}\langle F\rangle_{\text{amp}}\big|_{m^2 = 0}\] \[\Pi_{4,2}(F) = \frac{1}{4d(1 - d)}\frac{\partial}{\partial p_1}\cdot\frac{\partial}{\partial p_2}\langle F\tilde{A}^a_\mu(p_1)\tilde{A}^{a,\mu}(p_2)\rangle_{\text{amp}}\big|_{p_1 = p_2 = 0, m = 0}\] \[\Pi_{4,3}(F) = \frac{1}{4N}\text{Tr}\left(\frac{\partial}{\partial m} + \frac{1}{d\gamma_\nu}\frac{\partial}{\partial p^\nu}\right)\langle F\tilde{\bar{\psi}}(-p)\tilde{\psi}(p)\rangle_{\text{amp}}\big|_{p = 0, m = 0}\] \[\Pi_{4,5}(F) = \frac{1}{2d}\frac{\partial}{\partial p_1}\cdot\frac{\partial}{\partial p_2}\langle F\tilde{c}^a(p)\tilde{c}^a(-p)\rangle_{\text{amp}}\big|_{p = 0, m = 0}\] \[\Pi_{4,6}(F) = \frac{1}{d}\frac{if^{abc}}{gN}\frac{\partial}{\partial p^\mu}\langle F\tilde{A}^c_\mu(0)\tilde{c}^a(p)\tilde{c}^a(-p)\rangle_{\text{amp}}\big|_{p = 0, m = 0}\] 四维物理复合算符\(O_{4,1}\)、\(O_{4,2}\)和\(O_{4,3}\)的重整化矩阵为： \[\begin{pmatrix} \frac{1}{1 - \beta