振动系统分析：离散与连续系统的深入探讨

# 振动系统分析：离散与连续系统的深入探讨 ## 1. 传递矩阵法在扭转系统振动分析中的应用 ### 1.1 基本公式推导 在扭转系统的振动分析中，有如下重要公式： - 状态向量关系：$s_{r_i} = P_is_{l_i}$，其中状态向量 $s_{r_i} = \begin{bmatrix} \theta_{r_i} \\ M_{r_i} \end{bmatrix}$，$s_{l_i} = \begin{bmatrix} \theta_{l_i} \\ M_{l_i} \end{bmatrix}$，点矩阵 $P_i = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\omega^2I_i & 1 \end{bmatrix}$。 - 轴的平衡条件：若轴 $k_i$ 质量可忽略，有 $\theta_{l_i} = \theta_{r_{i - 1}} + \frac{1}{k_i}M_{r_{i - 1}}$，$M_{l_i} = M_{r_{i - 1}}$，可合并为矩阵方程 $\begin{bmatrix} \theta_{l_i} \\ M_{l_i} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{k_i} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta_{r_{i - 1}} \\ M_{r_{i - 1}} \end{bmatrix}$，场矩阵 $H_i = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{k_i} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。 - 传递矩阵：$T_i = P_iH_i = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{k_i} \\ -\omega^2I_i & 1 - \frac{\omega^2I_i}{k_i} \end{bmatrix}$，进而得到 $s_{r_i} = T_is_{r_{i - 1}}$。 ### 1.2 示例分析 考虑一个简单的两自由度扭转系统，由两个具有转动惯量 $I_1$ 和 $I_2$ 的圆盘以及两个具有扭转刚度系数 $k_1$ 和 $k_2$ 的轴组成。为简化计算，假设 $I_1 = I_2 = I$，$k_1 = k_2 = k$。边界条件为：在位置 0 处，$\theta = 0$，$M = M_0$；在位置 2 处，$\theta = \theta_2$，$M = 0$。 - 计算可得：$\begin{bmatrix} \theta_{r_1} \\ M_{r_1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{k} \\ -\omega^2I & 1 - \frac{\omega^2I}{k} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta_{r_0} \\ M_{r_0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{k} \\ -\omega^2I & 1 - \frac{\omega^2I}{k} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ M_0 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} \theta_{r_2} \\ M_{r_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \theta_2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{k} \\ -\omega^2I & 1 - \frac{\omega^2I}{k} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta_{r_1} \\ M_{r_1} \end{bmatrix}$。 - 经过一系列矩阵运算，得到两个标量方程：$\theta_2 = \frac{M_0}{k}(2 - \frac{\omega^2I}{k})$，$0 = (1 - \frac{\omega^2I}{k}) - \frac{\omega^2I}{k}M_0$。 - 由第二个方程得到系统的特征方程：$\omega^4 - 3\frac{\omega^2k}{I} + (\frac{k}{I})^2 = 0$，解出系统的固有频率为 $\omega_1 = 0.618\sqrt{\frac{k}{I}}$，$\omega_2 = 1.618\sqrt{\frac{k}{I}}$。 - 系统的振型为 $A_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1.61803 \end{bmatrix}$，$A_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -0.61803 \end{bmatrix}$。 ### 1.3 传递矩阵法操作流程 1. **确定系统参数**：明确系统中各圆盘的转动惯量 $I_i$ 和各轴的扭转刚度系数 $k_i$。 2. **设定边界条件**：确定系统两端的位移 $\theta$ 和扭矩 $M$ 的边界值。 3. **计算传递矩阵**：根据公式 $T_i = P_iH_i$ 计算各点的传递矩阵。 4. **建立矩阵方程**：根据边界条件和传递矩阵建立矩阵方程。 5. **求解特征方程**：从矩阵方程中得到系统的特征方程，求解固有频率。 6. **确定振型**：根据固有频率确定系统的振型。 ## 2. 非线性系统与模态分解 ### 2.1 非线性系统的分类与特点 在许多工程应用中，系统的运动方程可能是高度非线性的。非线性可分为几何非线性和材料非线性： - **几何非线性**：在一些工程应用中，由于系统部件的有限旋转，质量矩阵可能具有高度非线性；在另一些应用中，由于大变形，刚度矩阵可能是非线性的。 - **材料非线性**：使用非线性本构模型，如刚度系数是坐标的函数，或使用不遵循线性胡克定律的材料，都会导致材料非线性。当质量和/或刚度矩阵不是常数时，振型和固有频率将依赖于系统的配置。 ### 2.2 浮动坐标系（FFR）公式的应用 对于高度非线性系统，可通过创建局部线性问题来使用线性模态的概念。引入局部体坐标系，创建局部线性振动问题，同时保留由柔性体的有限旋转产生的所有几何非线性。这种方法称为浮动坐标系（FFR）公式，广泛应用于多体系统（MBS）的耐久性研究中。 ### 2.3 HMMWV 车辆模型示例 以高机动性多用途轮式车辆（HMMWV）为例，其模型可用于演示复杂和高度非线性机械系统中特征向量的物理意义。 - **车辆基本信息**：HMMWV 是一种四轮驱动车辆，用于军事和民用应用，具有 190 马力的发动机、双“A”臂悬架、螺旋弹簧、双作用减震器和基于循环球、蜗杆和螺母的动力辅助转向。车辆的整备质量约为 2500kg，最大公路速度为 113km/h。 - **模型构建**：在 MBS 数学公式中，悬架系统可使用刚体建模，底盘和轮胎可视为柔性体。底盘可使用小变形分析方法建模，其动态响应可表示为正常模态的叠加。 - **有限元（FE）方法应用**：为了获得 HMMWV 底盘的柔性 MBS 模型，可使用有限元（FE）方法。底盘的 FE 网格由 435 个三维非等参梁单元构建，梁单元采用位移和旋转作为节点坐标。材料特性包括弹性模量 $E = 2.1×10^{11}Pa$，泊松比 $\nu = 0.33$，质量密度 $\rho = 7200kg/m^3$。 - **边界条件设置**：在开发底盘的 FE 网格时，对八个材料点应用位移参考条件（NDRC），这些点对应于车辆悬架系统和底盘连接的几何位置，确保底盘模型的刚度矩阵为正定矩阵，从而底盘相对于其坐标系没有刚体模态。 - **模态分析结果**：通过求解广义特征值问题，得到底盘的前五个正常模态和相应的固有频率。 ### 2.4 FFR 公