S-锥形常平均曲率曲面：理论与构造

### S - 锥形常平均曲率曲面：理论与构造 #### 1. 达布变换与达布立方体性质 - **达布变换的唯一性**：给定一个对象 \(s\)，其达布变换 \(\hat{s}\) 可由 \(\hat{s}\) 的一个顶点唯一确定，且该顶点可任意选取。 - **达布立方体的四边形性质**：达布立方体中，对应于带正号的穆塔尔方程解的边具有嵌入的四边形，而带负号的则产生非嵌入的四边形。 - **多维一致性的方向调整**：为实现上述提到的多维一致情况，需对每隔一行的球面方向进行改变，即 \(s_{ij} \to (-1)^i s_{ij}\)。 #### 2. S - 等温网与 S - 锥形网的关系 - **S - 等温网的分类**：S - 等温网 \(s\) 是一种特殊的 Q - 网，根据每个四边形的四个球面 \(s, s_1, s_2, s_{12}\) 的相交情况，可分为三种类型： - **类型 1**：四个球面共享一个公共正交圆。当所有内积都为 1 时，每个四边形的四个球面循环相切，正交圆经过四个切点。 - **类型 2**：四个球面相交于一对点。 - **类型 3**：四个球面相交于恰好一个点。这种情况下，正交圆（或一对公共点）坍缩为一个点。 |类型|球面相交情况|内积情况| | ---- | ---- | ---- | |类型 1|共享公共正交圆|特殊情况内积为 1，球面循环相切| |类型 2|相交于一对点|内积不定且非退化| |类型 3|相交于一个点|内积退化| - **类型 3 的等价条件**：对于映射 \(s: \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{R}^{4,1}\) 且 \(\langle s, s \rangle = 1\)，以下陈述等价： - \(s\) 是类型 3 的 S - 等温网。 - \(s\) 是穆塔尔方程的解，且球面的相交角互补，即 \(\langle s, s_1 \rangle = - \langle s, s_2 \rangle\) 且 \(|\langle s, s_1 \rangle| \leq 1\)。 - \(s + s_{12}\) 和 \(s_1 + s_2\) 是平行的各向同性向量。 - \(s\) 的中心 \(c\) 形成一个 S - 锥形网，且对角线的交点 \(o\) 位于相应的球面 \(s, s_1, s_{12}, s_2\) 上。 ```mermaid graph LR A[s 是类型 3 的 S - 等温网] --> B[s 是穆塔尔方程的解且相交角互补] B --> C[s + s12 和 s1 + s2 是平行各向同性向量] C --> D[s 的中心 c 形成 S - 锥形网且交点 o 在球面上] D --> A ``` - **对偶性与达布变换性质**： - 类型 3 的 S - 等温网的克里斯托费尔对偶网仍是类型 3 的 S - 等温网，且对应球面的中心 \(c\) 和 \(c^*\) 构成克里斯托费尔对偶的 S - 锥形网。 - 类型 3 的 S - 等温曲面的达布变换保持类型 3 的网，对于 S - 锥形曲面也有良好定义。每个达布立方体都有一个里博库尔球面 \(R \in \mathbb{R}^{4,1}\)，它与达布立方体的所有球面 \(s, s_1, \cdots, \hat{s}_{12}\) 正交，且通过 \(c\) 和 \(\hat{c}\) 的对角线交点 \(o, \hat{o}\)。 #### 3. 常平均曲率的 S - 锥形网 - **三个条件的相互推导**：设 \(f, f^*: \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{R}^3\) 是两个 S - 锥形网，以下三个条件中任意两个可推出第三个： - \(f^*\) 是 \(f\) 的克里斯托费尔对偶。 - \(f^*\) 是 \(f\) 的达布变换。 - \(f^*\) 和 \(f\) 具有恒定的面偏移，且等于相应面的对角线交点之间的距离 \(\|o^* - o\|\)。 ```mermaid graph LR A[f* 是 f 的克里斯托费尔对偶] --> C[f* 和 f 有恒定面偏移且距离等于 |o* - o|] B[f* 是 ```