模式演算中的操作精化与单调性解析

### 模式演算中的操作精化与单调性解析 #### 1. 引言 在软件开发领域，形式化规范起着至关重要的作用，而 Z 语言的模式演算为表达结构化、模块化的规范提供了有效手段。在形式化程序开发中，逐步设计是核心概念，也就是从初始的抽象形式规范推导出更具体的规范，这一过程被称为精化。 然而，Z 语言的模式演算在精化方面存在问题。以往的研究未能成功将 Z 语言的模块化特性与精化相结合，导致在进行精化时，往往需要先移除模式演算运算符。这是因为在标准的部分关系模型中，Z 模式演算运算符的单调性较差，这极大地影响了它们在从 Z 规范进行程序开发时的实用性。 为了解决这个问题，不同的研究者提出了多种方法，但这些方法都存在各自的局限性。本文将对四个标准的模式演算运算符（合取、析取、存在隐藏和组合）相对于三种操作精化理论的单调性进行全面分析。 #### 2. 操作精化 操作精化是指在不改变底层状态规范的前提下，从给定的抽象操作推导出更具体的操作。在 Z 语言中，操作模式的部分关系语义引发了一个问题：一个操作模式精化另一个操作模式意味着什么？更广泛地说，一个部分关系精化另一个部分关系又意味着什么？ 本文采用了更简单直观的 S - 精化框架，避免了使用语义解释（提升全关系），而是直接处理语言本身。下面介绍三种不同的操作精化概念： ##### 2.1 S - 精化 S - 精化基于两个基本观察：精化可能涉及减少不确定性，也可能涉及扩展定义域。具体来说，精化要求后置条件不弱化（不允许在精化中增加不确定性），前置条件不强化（不允许定义域中的要求消失）。 S - 精化表示为 \(U_0 \sqsupseteq_s U_1\)（\(U_0\) S - 精化 \(U_1\)），并由以下规则定义： - 命题 1：设 \(z, z_0, z_1\) 为新变量。 - \(\text{Pre } U_1 z \vdash \text{Pre } U_0 z\) - \(\text{Pre } U_1 z_0, z_0 \star z'_1 \in U_0 \vdash z_0 \star z'_1 \in U_1\) - \(U_0 \sqsupseteq_s U_1\) (\(\sqsupseteq^+_s\)) - \(U_0 \sqsupseteq_s U_1\) - \(\text{Pre } U_1 t\) - \(\text{Pre } U_0 t\) (\(\sqsupseteq^-_s0\)) - \(U_0 \sqsupseteq_s U_1\) - \(\text{Pre } U_1 t_0\) - \(t_0 \star t'_1 \in U_0\) - \(t_0 \star t'_1 \in U_1\) (\(\sqsupseteq^-_s1\)) S - 精化已被证明与其他精化特征（如基于 Woodcock 混沌关系完成模型的 \(W \bullet\) - 精化）等价。 ##### 2.2 SP - 精化 SP - 精化是 S - 精化的一种特殊情况，它可能涉及减少不确定性，但要求在精化步骤中前置条件保持稳定。 SP - 精化表示为 \(U_0 \sqsupseteq_{sp} U_1\)，并由以下规则定义： - 命题 2：设 \(z, z_0, z_1\) 为新变量。 - \(\text{Pre } U_1 z \vdash \text{Pre } U_0 z\) - \(z_0 \star z'_1 \in U_0 \vdash z_0 \star z'_1 \in U_1\) - \(U_0 \sqsupseteq_{sp} U_1\) (\(\sqsupseteq^+_{sp}\)) - \(U_0 \sqsupseteq_{sp} U_1\) - \(\text{Pre } U_1 t\) - \(\text{Pre } U_0 t\) (\(\sqsupseteq^-_{sp}0\)) - \(U_0 \sqsupseteq_{sp} U_1\) - \(t_0 \star t'_1 \in U_0\) - \(t_0 \star t'_1 \in U_1\) (\(\sqsupseteq^-_{sp}1\)) SP - 精化也与其他精化特征（如基于中止关系完成模型的 \(W \lnot\) - 精化）等价。 ##### 2.3 SC - 精化 SC - 精化是本文提出的第三种操作精化概念，主要用于后续的分析。在 SC - 精化中，前置条件可以弱化，但后置条件保持稳定。 SC - 精化表示为 \(U_0 \sqsupseteq_{sc} U_1\)，并由以下规则定义： - 命题 3：设 \(z_0, z_1\) 为新变量。 - \(z_0 \star z'_1 \in U_1 \vdash z_0 \star z'_1 \in U_0\) - \(\text{Pre } U_1 z_0, z_0 \star z'_1 \in U_0 \vdash z_0 \star z'_1 \in U_1\) - \(U_0 \sqsupseteq_{sc} U_1\) (\(\sqsupseteq^+_{sc}\)) - \(U_0 \sqsupseteq_{sc} U_1\) - \(t_0 \star t'_1 \in U_1\) - \(t_0 \star t'_1 \in U_0\) (\(\sqsupseteq^-_{sc}0\)) - \(U_0 \sqsupseteq_{sc} U_1\) - \(\text{Pre } U_1 t_0\) - \(t_0 \star t'_1 \in U_0\) - \(t_0 \star t'_1 \in U_1\) (\(\sqsupseteq^-_{sc}1\)) 此外，还有一个可推导的额外规则： - 引理 1：\(U_0 \sqsupseteq_{sc} U_1\) - \(\text{Pre } U_1 t\) - \(\text{Pre } U_0 t\) #### 3. 操作精化与模式演算的结合 一个模式演算运算符相对于精化是单调的，如果将其应用于各个参数的独立精化所得到的模式表达式构成了整个模式表达式的精化。 Z 语言作为一种规范语言，其强大之处在于能够使用模式运算符表达模块化规范。为了充分利用模块化特性进行规范精化，模式运算符的单调性至关重要。然而，Z 模式演算运算符的单调性较差，影响了它们在程序开发中的应用。 下面分析四个模式演算运算符（合取、析取、存在隐藏和组合）相对于三种精化理论的单调性。 ##### 3.1 合取的精化 模式合取在 S - 精化方面不是单调的。例如，考虑以下模式： - \(U_0 \triangleq [ x, x' : \mathbb{N} | x' = 8]\) - \(U_1 \triangleq [ x, x' : \mathbb{N} | x' < 10]\) - \(U_2 \triangleq [ x, x' : \mathbb{N} | x' = 2]\) 可以证明 \(U_0 \sqsups