黎曼曲面的均匀化与超椭圆曲面的几何特征

### 黎曼曲面的均匀化与超椭圆曲面的几何特征 #### 1. 基本多边形与群生成元 - **基本概念** - 每个亏格 \(g \geq 2\) 的紧致黎曼面 \(R\) 都可以表示为双曲平面 \(H^2\) 关于双曲平移离散群 \(G\) 作用的商空间，即 \(R = H^2/G\)。 - 群 \(G\) 的表示很重要，用大写字母表示生成元，其逆元用带撇的大写字母表示，如 \(A' := A^{-1} \in G\)。 - 均匀化群 \(G\) 可以由有限个生成元 \(A, B, C, D, \cdots \in \text{Isom}(H^2)\) 表示，且满足单个关系 \(r = 1\)，即 \(G = \langle A, B, C, D, \cdots | r = 1\rangle\)，其中 \(r\) 是一个乘积，所有生成元及其逆元恰好出现一次。 - **基本多边形** - \(G\) 的基本域 \(D\) 是双曲平面的一个开连通子集，使得 \(D\) 的闭包的 \(G\) - 轨道覆盖 \(H^2\)，且对于所有 \(g \in G \setminus \{1\}\)，有 \(gD \cap D = \varnothing\)。基本多边形是具有多边形边界的基本域，其边界由测地线段（边）组成，这些边通过群 \(G\) 的作用成对识别。 - 对于每条边 \(a\)，都有唯一的伙伴边 \(a'\)，存在一个平移 \(A \in G\) 将 \(a\) 映射到 \(a'\)，这些边 - 粘合平移构成了 \(G\) 的生成集。 - 如果基本多边形的所有顶点都被识别（即它们属于同一个 \(G\) - 轨道），则基本多边形有 \(4g\) 条边，此时这些生成元只有一个关系，该关系可以从边的标签确定，边标签按逆时针顺序列出。例如，八边形的边按“规范”方式标记为 \(aba'b'cdc'd'\) 时，对应的边配对平移关系为 \(DC'D'CBA'B'A\)；当对边被识别，边标记为 \(abcda'b'c'd'\) 时，关系为 \(DC'BA'D'CB'A = 1\)。 - **计算方面** - 给定一个闭的（欧几里得、球面或双曲）三角剖分曲面 \((\Delta, \ell)\)，亏格 \(g \geq 2\)，解决问题 3.1 以获得组合等价的双曲三角剖分曲面 \((\Delta, \tilde{\ell})_{\text{hyp}}\)，使得每个顶点的角度和 \(\Theta = 2\pi\)。 - 按照对偶胞腔复形的 1 - 骨架的广度优先搜索，将三角形逐个放置在双曲平面中，得到一个有许多顶点的基本多边形。 - 通过用测地弧连接与多个伙伴被识别的顶点来简化这个基本多边形，得到的多边形通常有多个顶点类。 - 执行涉及切割和粘贴操作的标准算法，以获得具有一个顶点类和所谓规范边识别 \(aba'b'cdc'd' \cdots\) 的基本多边形。在此过程中，用 \(SO^+(2, 1)\) 矩阵表示边 - 识别变换。 - 由于双曲平移在构建乘积时容易快速积累数值误差，采用贪婪方法，即反复选择标签 \(x, y\)，使得多边形中的顺序为 \(x \cdots y \cdots x' \cdots y'\)，然后执行切割和粘贴序列将标签移到相邻位置 \(xyx'y'\)，始终选择需要最少矩阵乘法的一对 \(x, y\)。 - 具有规范边识别的多边形可能不是凸的，根据 Keen 的方法，通过为同一变换群选择不同的基顶点，可以将该域转换为严格凸的基本多边形。 以下是构建基本多边形的流程图： ```mermaid graph TD; A[给定闭三角剖分曲面] --> B[解决问题3.1获得双曲三角剖分曲面]; B --> C[在双曲平面中放置三角形得到基本多边形]; C --> D[简化基本多边形]; D --> E[执行切割和粘贴算法获得规范边识别多边形]; E --> F[转换为严格凸的基本多边形]; ``` #### 2. 从肖特基均匀化到富克斯均匀化 - **肖特基群与黎曼面** - 设 \(C_1, C_1', \cdots, C_g, C_g'\) 是 \(\hat{\math