基于卡片的图问题零知识证明协议

### 基于卡片的图问题零知识证明协议 在图论和密码学的交叉领域，零知识证明（ZKP）协议是一种强大的工具，它允许一方（证明者）向另一方（验证者）证明某个陈述的真实性，而不泄露任何额外的信息。本文将介绍两种基于卡片的零知识证明协议，分别用于解决图的3 - 着色问题和图同构问题，并对这些协议进行形式化定义和安全性证明。 #### 图的3 - 着色问题的零知识证明协议 图的3 - 着色问题是指对于一个给定的无向图 $G = (V, E)$，是否可以用三种颜色对图的顶点进行着色，使得相邻的顶点颜色不同。我们提出的协议允许证明者Peggy向验证者Victor证明她知道这样一种着色方案 $\varphi : V \to \{1, 2, 3\}$，而不泄露关于 $\varphi$ 的任何信息。 ##### 协议步骤 1. **准备卡片序列**：对于每个顶点 $i \in V$，Peggy根据以下编码规则准备一组面朝下的卡片来表示 $\varphi(i)$： - $\heartsuit\clubsuit\clubsuit = 1$ - $\clubsuit\heartsuit\clubsuit = 2$ - $\clubsuit\clubsuit\heartsuit = 3$ 将这些 $n$ 组卡片垂直排列。 2. **验证每条边**：对于每条边 $(i, j) \in E$，执行以下步骤： - **洗牌**：将 $n$ 组卡片按列视为一堆，进行水平的堆洗牌操作。洗牌后，任何人都无法知道卡片的最终顺序。 - **揭示卡片**：揭示第 $i$ 组和第 $j$ 组卡片。如果两组卡片代表不同的颜色（即两张红牌出现在不同的位置），则表示 $\varphi(i) \neq \varphi(j)$，继续协议；否则，Victor拒绝。 该协议所需的卡片数量为 $3n$，洗牌次数为 $m$，其中 $m$ 是图 $G$ 的边数。 | 步骤 | 操作 | 说明 | | ---- | ---- | ---- | | 1 | 准备卡片序列 | 根据编码规则为每个顶点准备卡片序列 | | 2 | 验证每条边 | 对每条边进行洗牌和揭示操作 | ```mermaid graph LR A[开始] --> B[准备卡片序列] B --> C[验证每条边] C --> D{是否所有边验证通过} D -- 是 --> E[Victor接受] D -- 否 --> F[Victor拒绝] ``` #### 图同构问题的零知识证明协议 图同构问题是指对于两个给定的无向图 $G_1 = (V_1, E_1)$ 和 $G_2 = (V_2, E_2)$，是否存在一个顶点的置换 $\pi : V_1 \to V_2$，使得 $(u, v) \in E_1$ 当且仅当 $(\pi(u), \pi(v)) \in E_2$。我们的协议允许Peggy向Victor证明她知道这样一个置换 $\pi$，而不泄露关于 $\pi$ 的任何信息。 ##### 协议思路 假设Peggy知道一个正确的置换 $\pi \in S_n$，其中 $n$ 是两个图的顶点数。设 $A(G_1)$ 和 $A(G_2)$ 分别是两个图的邻接矩阵，则有 $A(G_2) = P_{\pi}^T A(G_1) P_{\pi}$，其中 $P_{\pi}$ 是与 $\pi$ 对应的置换矩阵。因此，Peggy和Victor可以放置代表 $A(G_1)$ 的面朝下的卡片序列，Peggy根据置换矩阵 $P_{\pi}$ 重新排列这些序列，使得最终的序列代表 $A(G_2)$。 ##### 协议步骤 1. **准备置换序列**：Peggy准备一组面朝下的编号从1到 $n$ 的卡片，代表逆置换 $\pi^{-1}$。 2. **放置邻接矩阵**：根据编码规则，用面朝下的卡片表示图 $G_1$ 的邻接矩阵 $A(G_1)$。将代表 $\pi^{-1}$ 的序列和代表恒等置换的序列 $[id]$ 垂直放置在矩阵 $[A(G_1)]$ 的左侧。 3. **第一次堆洗牌**：将每行的卡片视为一堆，进行堆洗牌操作，生成随机置换 $r$。 4. **揭示并排序**：揭示序列 $[r\pi^{-1}]$，根据 $r\pi^{-1}$ 对矩阵 $[P_r^T A(G_1)]$ 的行进行升序排序，得到 $[P_{\pi}^T A(G_1)]$。 5. **第二次堆洗牌**：将序列 $[r]$ 和 $[r\pi^{-1}]$ 按行视为一堆，进行堆洗牌操作，生成随机置换 $r'$。 6. **揭示并排序**：揭示序列 $[r'r]$，根据 $r'r$ 对序列 $[r'r\pi^{-1}]$ 进行升序排序，得到 $[\pi^{-1}]$。 7. **放置置换序列**：将序列 $[\pi^{-1}]$ 水平放置在矩阵 $[P_{\pi}^T A(G_1)]$ 的上方。 8. **第三次堆洗牌**：将每列的卡片视为一堆，进行堆洗牌操作，生成随机置换 $r''$。 9. **揭示并排序**：揭示序列 $[r''\pi^{-1}]$，根据 $r''\pi^{-1}$ 对矩阵 $[P_{\pi}^T A(G_1) P_{r''}]$ 的列进行升序排序，得到 $[P_{\pi}^T A(G_1) P_{\pi}]$。 10. **揭示矩阵**：揭示矩阵 $[P_{\pi}^T A(G_1) P_{\pi}]$。如果它代表图 $G_2$ 的邻接矩阵，则Victor接受；否则，Victor拒绝。 该协议所需的卡片总数为 $n^2 + 2n$，洗牌次数为3。 | 步骤 | 操作 | 说明 | | ---- | ---- | ---- | | 1 | 准备置换序列 | 准备代表逆置换 $\pi^{-1}$ 的卡片序列 | | 2 | 放置邻接矩阵 | 用卡