R语言广义线性模型：NHANES数据中GLM的全面应用

# 1. 广义线性模型（GLM）基础理论 广义线性模型（Generalized Linear Models，GLM）是统计学中的一个基础框架，用于描述响应变量与一组预测变量之间的关系。GLM扩展了传统的线性回归模型，能够适用于非正态分布的响应变量，并允许使用不同的链接函数来建模数据。本章将从理论层面介绍GLM的三个基本组成部分：随机成分、系统成分和链接函数，并探讨如何选择合适的概率分布和链接函数来构建模型。此外，还将介绍最大似然估计（MLE）的原理，这是一种用来估计模型参数的常用方法。本章为理解后续章节中使用R语言实现GLM和分析NHANES数据集打下坚实的理论基础。 # 2. R语言中的GLM实现 ## 2.1 GLM的R语言语法和函数 ### 2.1.1 GLM函数的基本用法 在R语言中，广义线性模型（Generalized Linear Models，GLM）的实现主要依赖于`glm()`函数。此函数是R的基础包中的一个功能强大的函数，可以用来拟合多种类型的GLM模型。基本的语法结构如下： ```R glm(formula, family = gaussian(), data, weights, subset, start = NULL, etastart, mustart, offset, control = glm.control(...), model = TRUE, method = "glm.fit", x = FALSE, y = TRUE, ...) ``` 其中最关键的参数是`formula`，它定义了模型的响应变量和预测变量之间的关系，以及`family`，它指定了模型的误差分布和链接函数。 下面是一个简单的`glm()`函数使用示例： ```R # 加载数据集 data(mtcars) # 使用glm函数拟合一个线性模型 glm_model <- glm(mpg ~ wt + hp, data = mtcars, family = gaussian(link = "identity")) ``` 在这个例子中，我们使用`mtcars`数据集来预测汽车的每加仑英里数（mpg）基于其重量（wt）和马力（hp）。`family`参数设置为`gaussian(link = "identity")`表示我们使用默认的恒等链接函数，这是普通线性回归的标准形式。 ### 2.1.2 分类变量和连续变量的处理 R语言对分类变量和连续变量的处理具有灵活性。对于分类变量，`glm()`函数可以自动将其转化为虚拟变量（dummy variables），以便用于模型中。然而，处理分类变量时有一些最佳实践需要注意： - **因子变量（Factors）**：应该使用因子变量而非字符变量来表示分类数据。这样做可以确保`glm()`函数正确处理分类变量的编码。 - **变量编码**：确保对因子变量进行适当的编码，例如使用` contrasts`参数来设置参照组，这可以帮助解释模型中的参数。 - **数据类型**：在将分类变量转换为因子变量之前，确保数据类型正确无误，避免数据类型错误导致的编码问题。 举例说明： ```R # 将cyl列转换为因子 mtcars$cyl <- as.factor(mtcars$cyl) # 拟合包含分类变量的模型 glm_model_factor <- glm(mpg ~ wt + cyl, data = mtcars, family = gaussian(link = "identity")) ``` 在这个例子中，我们首先将`mtcars`数据集中的`cyl`列（汽车气缸数）转换为因子变量，然后拟合一个线性模型。 ## 2.2 GLM的诊断和模型选择 ### 2.2.1 模型拟合优度的评估 评估GLM模型的拟合优度是检验模型是否适用的重要步骤。在R语言中，有几种方法可以进行模型拟合优度的评估： - **残差分析**：检查残差是否服从正态分布，残差与拟合值之间的关系是否呈现随机分布等。 - **拟合优度检验**：如Hosmer-Lemeshow拟合优度检验（用于逻辑回归模型）。 - **AIC（赤池信息量准则）**和**BIC（贝叶斯信息量准则）**：用于模型选择的标准，帮助选择最佳拟合且尽可能简单的模型。 下面的代码展示了如何使用`residuals()`和`plot()`函数进行残差分析： ```R # 获取模型的残差 residuals <- residuals(glm_model) # 残差与拟合值的散点图 plot(fitted(glm_model), residuals) abline(h = 0, col = "red") # 计算AIC aic_value <- AIC(glm_model) ``` 通过创建残差的散点图，我们可以观察残差是否呈现出随机分布的模式，以此来评估模型的拟合优度。AIC值的计算帮助我们比较不同的模型。 ### 2.2.2 线性关系和残差分析 为了验证模型中的线性关系，通常会先进行散点图分析，观察变量间是否存在线性趋势。对于GLM的残差分析，我们关注的是残差的分布情况，包括是否呈正态分布以及是否存在异方差性。 我们可以使用如下R代码进行可视化检查： ```R # 残差的正态QQ图 qqnorm(residuals) qqline(residuals) # 残差的散点图 plot(residuals ~ fitted(glm_model)) abline(h = 0, col = "red") ``` 正态QQ图可以帮助我们直观地判断残差是否符合正态分布，而残差与拟合值的散点图则用于检测异方差性。 ### 2.2.3 模型选择的标准和方法 在R中，常见的模型选择标准包括AIC、BIC，这些信息可以通过`extractAIC()`函数获取： ```R # 提取AIC extracted_aic <- extractAIC(glm_model) ``` 当有多个模型可供选择时，选择AIC或BIC值最小的模型通常是最合理的，这表示模型拥有较好的拟合度且参数数量相对较少。除了AIC和BIC，还可以采用诸如交叉验证（cross-validation）等更复杂的方法来评估模型。 在实践操作中，可以使用如下步骤来选择模型： 1. 拟合多个模型，每个模型包含不同的变量组合。 2. 使用`extractAIC()`或`BIC()`获取每个模型的AIC或BIC值。 3. 选择AIC或BIC值最小的模型。 ## 2.3 GLM的交互作用和多项式项 ### 2.3.1 添加交互作用项 在GLM模型中添加交互作用项可以检验变量间的交互效应。这在R中非常容易实现，只需在`formula`中包含相应的交互项即可。 举例说明： ```R # 添加两个变量的交互作用项 glm_interact <- glm(mpg ~ wt * hp, data = mtcars, family = gaussian(link = "identity")) ``` 在这个例子中，我们为`mtcars`数据集中的`mpg`预测变量增加了`wt`和`hp`的交互作用项。 ### 2.3.2 多项式回归的实现 多项式回归是广义线性模型的一个扩展，用于处理变量间的非线性关系。在R中