图胶合过程与谱间隙分析

### 图胶合过程与谱间隙分析 在研究图的谱性质时，我们常常关注当两个图胶合在一起时谱的行为，特别是谱间隙（即两个最低特征值之间的差值）的变化情况。下面我们将深入探讨这方面的内容。 #### 1. 基本概念与符号说明 考虑两个度量图 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$，选取它们顶点的两个相同大小的子集 $\partial\Gamma_j = \{V^m(\Gamma_j)\}_{m = 1}^{M_{\partial}}$。胶合后的图 $\Gamma$ 是 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 的并集，其中 $\partial\Gamma_1$ 和 $\partial\Gamma_2$ 中的顶点两两对应。我们用 $\Gamma = \Gamma_1 \sqcup_{\partial} \Gamma_2$ 来表示这种胶合关系。 在这个过程中，有两个重要的算子： - **狄利克雷拉普拉斯算子**：$L^D(\Gamma_1, \Gamma_2)$ 定义在满足接触集上狄利克雷条件和所有内部顶点标准条件的函数上，其特征值记为 $\lambda^D_j(\Gamma_1, \Gamma_2)$。 - **标准拉普拉斯算子**：$L^{st}(\Gamma)$、$L^{st}(\Gamma_1, \Gamma_2)$ 定义在所有顶点满足标准顶点条件的函数上，其特征值记为 $\lambda_j(\Gamma) = \lambda^{st}_j(\Gamma)$ 和 $\lambda_j(\Gamma_1, \Gamma_2) = \lambda^{st}_j(\Gamma_1, \Gamma_2)$。 #### 2. 一个基本定理的证明 下面我们来证明一个基本定理：标准拉普拉斯算子在 $\Gamma$ 上的第一个非平凡特征值 $\lambda_2(\Gamma)$ 不超过狄利克雷算子在 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 上的联合谱（计重数）中的第二低点，即： $\lambda_2(\Gamma) \leq \min\{\max\{\lambda^D_1(\Gamma_1), \lambda^D_1(\Gamma_2)\}, \min\{\lambda^D_2(\Gamma_1), \lambda^D_2(\Gamma_2)\}\}$ 当且仅当 $\lambda^D_1(\Gamma_1) = \lambda^D_1(\Gamma_2)$ 时，等号成立。 我们可以用两种方法来证明这个定理： - **使用瑞利商证明**： - 第一个非平凡特征值由瑞利商的最小值给出：$\lambda_2(\Gamma) = \min_{u \perp 1} \frac{\langle Lu, u\rangle}{\|u\|^2}$。 - 联合谱中的最低点要么是两个狄利克雷基态，要么是其中一个狄利克雷算子的两个最低特征值。设对应的特征函数为 $\psi^1$ 和 $\psi^2$，将它们零延拓到整个 $\Gamma$ 上。这些函数是正交的，因为它们要么支撑集不相交，要么是同一个自伴算子的特征函数。 - 考虑函数 $\psi = \alpha\psi^1 + \beta\psi^2$，可以找到系数 $\alpha$ 和 $\beta$ 满足正交条件 $\psi \perp 1$。对于这样的参数值，有： $\lambda_2(\Gamma) \leq \frac{\langle L\psi, \psi\rangle}{\|\psi\|^2} = \frac{\lambda^1|\alpha|^2 + \lambda^2|\beta|^2}{|\alpha|^2 + |\beta|^2} \leq \min\{\max\{\lambda^D_1(\Gamma_j)\}_{j = 1}^2, \min\{\lambda^D_2(\Gamma_j)\}_{j = 1}^2\}$ - 等式成立当且仅当 $\lambda^1 = \lambda^2$，但由于基态是非简并的，即 $\lambda^D_1(\Gamma_j) < \lambda^D_2(\Gamma_j)$，所以等式成立当且仅当 $\lambda^D_1(\Gamma_1) = \lambda^D_1(\Gamma_2)$。 - **使用 M - 函数证明**： - 考虑上述最大值和最小值右侧的任意正则点 $x$，在这两种情况下，$M(\lambda)$ 在 $x$ 左侧至少有两个奇点。 - 由于正特征值的数量是非负整数，根据引理 18.9 可知 $r(x) \geq 2$，从而证明了非严格不等式。 - 如果 $\lambda^D_1(\Gamma_1) \neq \lambda^D_1(\Gamma_2)$，则 $M$ 的最低奇点不同，记为 $\lambda^1 < \lambda^2$。对于正则点 $\lambda^2 - \epsilon$（$\epsilon > 0$ 足够小），左侧只有一个奇点，且 $M$ 矩阵至少有一个正特征值，根据引理 18.9 可知左侧至少有两个零点，即不等式是严格的。 #### 3. 谱间隙的行为分析 通常情况下，我们可能会认为胶合后图的总长度增加，谱间隙会减小，因为量子图的特征值与总长度的平方成反比。但实际情况并非总是如此，下面我们来分析在什么条件下胶合后谱间隙会增大。 胶合后图的 $M$ - 函数等于原始部分的 $M$ - 函数之和，即： $M_{\Gamma_1 \sqcup_{\partial} \Gamma_2}(\lambda) = M_{\Gamma_1}(\lambda) + M_{\Gamma_2}(\lambda)$ 需要注意的是，这个公式仅在胶合图的顶点满足标准顶点条件时成立。 所有奇点都会保留，其重数是各部分可检测特征函数重数之和，但广义零点不一定保留。广义零点 $\lambda_1$ 保留的充要条件是两个特征函数在 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 上的迹平行。 引理 18.12 表明，标准拉普拉斯算子在 $\Gamma = \Gamma_1 \sqcup_{\partial} \Gamma_2$ 上位于两个狄利克雷拉普拉斯算子基态下方的特征值总是可以从 $M_{\Gamma}$ 中看到。 #### 4. 谱间隙相关定理 - **定理 18.13**：标准拉普拉斯算子在 $\Gamma$ 上的谱间隙小于狄利克雷拉普拉斯算子在 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 上的基态能量，当且仅当 $M$ - 函数在 $\lambda = \min\{\lambda^D_1(\Gamma), \lambda^D_1(\Gamma_2)\}$ 左侧紧邻处至少有两个正特征值，即： $\lambda_2(\Gamma) < \min\{\lambda^D_1(\Gamma_1), \lambda^D_1(\Gamma_2)\} \Leftrightarrow M_{\Gamma}(\min\{\lambda^D_1(\Gamma), \lambda^D_1(\Gamma_2)\} - \epsilon)$ 对于足够小的 $\epsilon$ 至少有 2 个正特征值。 - **定理 18.14**：考虑两个紧致有限度量图 $\Gamma_1$、$\Gamma_2$ 以及胶合后的图 $\Gamma = \Gamma_1 \sqcup_{\partial} \Gamma_2$，胶合过程中谱间隙不减小，即 $\lambda_2(\Gamma) \geq \min_j\{\lambda_2(\Gamma_j)\}$，当且仅当满足以下条件之一： - $\min_j\{\lambda_2(\Gamma_j)\} \leq \min_j\{\lambda^D_1(\Gamma_j)\}$ 且 $\lim_{\epsilon \searrow 0} \#\{\text{正特征值 of } M_{\Gamma}(\min_j\{\lambda_2(\Gam