有限元计算中的优化编译器与基函数构建

### 有限元计算中的优化编译器与基函数构建 在有限元计算领域，为了提高计算效率和精度，有两个关键的方面值得深入探讨，一是优化编译器 FErari 对变分形式的优化，二是 FIAT 项目对有限元基函数的数值构建。 #### 1. FErari 优化编译器 FErari 是一种用于变分形式的优化编译器，它在不同的矩阵计算场景中展现出了独特的性能。 ##### 1.1 H1 刚度矩阵 对于三角形上定义的 H1 刚度矩阵，其形式为 \(a(u, v) = \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v dx\)，使用一阶到五阶的拉格朗日元素进行计算。结果表明，张量收缩方法在这种形式下优于求积法。与质量矩阵不同的是，FErari 优化在低阶情况下效果不明显，但随着阶数的增加，优化效果显著提升。 ##### 1.2 变系数刚度矩阵 考虑变系数刚度矩阵 \(a(w; u, v) = \int_{\Omega} w\nabla u \cdot \nabla v dx\)，其中 \(w\) 与 \(u\)、\(v\) 处于相同的多项式空间（一阶到五阶的拉格朗日元素）。求积法和张量方法的差异比无系数的双线性情况小，但张量收缩仍然更快。FErari 在每种情况下能将张量收缩速度提高约 5 - 20%。 ##### 1.3 纳维 - 斯托克斯对流项 在纳维 - 斯托克斯方程中，自然会出现从有限元空间中选取的变系数问题。对于典型的线性化，需要计算与形式 \(a(w, \rho; u, v) = \int_{T} \rho\nabla u w \cdot v dx\) 相关的矩阵，其中 \(w\) 与 \(u\)、\(v\) 来自相同的有限元空间（向量值分段多项式），\(\rho\) 是与其他函数相同次数的标量值多项式。这个问题比之前的更具挑战性，只考虑到三次函数。两个系数函数 \(w\) 和 \(\rho\) 使得基于求积的方法与张量收缩更具竞争力。即便如此，FErari 仍能使基于张量的方法提速约 10%，并且性能优于求积法。 ##### 1.4 H(div) 和 H(curl) 质量矩阵 再次考虑质量矩阵，但针对 H(div) 和 H(curl) 元素。Piola 变换使计算模式类似于 H1 刚度矩阵，但参考张量中的数值不同，因此 FErari 的加速结果可能不同。对于 H(div)，FErari 相对于标准张量收缩的加速范围从几个百分点到近两倍；而对于 H(curl)，FErari 的加速效果甚微。 ##### 1.5 总结 总体而言，FErari 优化在大多数情况下能为变分形式的运行时评估提供适度到显著的加速。然而，它会大幅增加 FFC 生成代码的时间，因此不太适合开发阶段或即时编译策略。一般来说，当形式的复杂度（以系数数量和微分算子数量衡量）增加时，求积法相对于张量收缩变得更有效；而对于简单形式和高阶多项式，张量收缩方法相对更有效。 以下是不同矩阵计算中 FErari 优化效果的对比表格： | 矩阵类型 | FErari 优化效果 | | ---- | ---- | | H1 刚度矩阵 | 低阶效果不明显，高阶显著提升 | | 变系数刚度矩阵 | 提速约 5 - 20% | | 纳维 - 斯托克斯对流项 | 提速约 10% | | H(div) 质量矩阵 | 加速范围从几个百分点到近两倍 | | H(curl) 质量矩阵 | 加速效果甚微 | #### 2. FIAT 项目：有限元基函数的数值构建 FIAT 项目将第 4 章描述的数学框架实现为 Python 包，主要基于数值线性代数进行工作。尽管浮点运算的实现相对于符号计算存在一些挑战，但它在工作和内存使用方面能实现更高的效率，尤其适用于高阶元素。为了在 Python 中实现高效计算，将计算密集型操作表示为数值线性代数形式，并使用广泛分布的 NumPy 包进行计算。 ##### 2.1 主基：塌缩坐标多项式 FIAT 使用塌缩坐标多项式来稳定评估高阶多项式。在三角形上，多项式形式为 \(Dp,q(x, y) = P_{0,0}^p (\eta_1) (1 - \eta_2^2)^p P_{2p + 1,0}^q (\eta_2)\)，其中 \(\eta_1\) 和 \(\eta_2\) 是双单位正方形上的笛卡尔坐标，通过塌缩坐标映射从三角形转换而来。这些多项式构成了 \(n\) 次多项式的基，并且在 \(L^2(T)\) 内积中正交。最近的研究表明，可以直接在三角形上计算这些多项式，无需参考奇异映射，这使得可以使用标准的自动微分技术计算导数。 多项式的递推关系如下： ```plaintext Algorithm 4 Compute all triangular orthogonal polyno ```