并行系统资源管理中的调度问题解析

### 并行系统资源管理中的调度问题解析 #### 1. 引言 并行处理有望将计算机性能提升到前所未有的高度。然而，若没有软件系统的合理调配，并行处理器的强大计算能力可能无法得到充分发挥。这就要求我们对并行系统和并行程序的资源进行妥善管理，也就是所谓的调度。调度可以宽泛地理解为在一段时间内分配资源以执行构成某些进程的任务。由于处理器是实现并行处理的核心，我们将重点关注对其的管理。同时，在现代并行架构中，处理器分布在不同位置并通过各种互连方式进行通信，因此通信介质也被视为重要资源。调度与操作系统、编译器和库的构建密切相关。 #### 2. 基本概念和方法 ##### 2.1 基本结构 - **集合**：集合是可区分对象的组合。若元素 `a` 属于集合 `A`，可表示为 `a ∈ A`。例如，自然数集（记为 `Z+`）、实数集、计算机上运行的程序集等。子集是集合中部分元素的选择，如 `A = {a, b}` 是 `B = {a, b, c, d}` 的子集，可表示为 `A ⊂ B`；若 `A` 可能等于 `B`，则表示为 `A ⊆ B`。集合 `A` 的基数 `|A|` 即其元素的数量。 - **笛卡尔积和关系**：集合 `A1, A2, ..., Ak` 的笛卡尔积 `A1 x A2 x ... x Ak` 是所有元组 `(a1, a2, ..., ak)` 的集合，其中 `ai ∈ Ai`。关系是笛卡尔积的子集，当 `k = 2` 时为二元关系。函数 `f : A → B` 是 `A` 和 `B` 之间的一种关系，对于任意 `a ∈ A`，存在唯一的 `b ∈ B` 使得 `(a, b) ∈ f`，可表示为 `f(a) = b`，`A` 是定义域，`B` 是值域。 - **图**：图 `G = (V, E)` 由顶点集 `V` 和边集 `E` 组成。例如，城市和通信链路可构成图，城市是顶点，通信链路是边。图可分为无向图和有向图。无向图的边集 `E` 由 `V` 的二元子集组成；有向图的边集 `E` 是 `V x V` 上的关系，`(i, j) ∈ E` 表示只能从顶点 `i` 到顶点 `j`。子图 `G' = (V', E')` 满足 `V' ⊆ V` 且 `E'` 是与 `V'` 中顶点相邻的边的集合。路径是图中顶点的序列，无向图中相邻顶点间有边相连，有向图中相邻顶点间有有向边相连。无环图是没有环的图，连通图是任意两个顶点间都有路径相连的图。顶点的度是与该顶点相邻的边的数量。 - **特殊有向图**：有向无环图（DAG）在表示计算过程中很重要。链是所有弧构成一条有向路径的 DAG；入树是有且仅有一个出度为 0 的顶点，其他顶点出度为 1 的连通 DAG；出树是有且仅有一个入度为 0 的顶点，其他顶点入度为 1 的连通 DAG；出森林（入森林）是不相连的出树（入树）的集合。 - **超图**：超图 `H = (V, £)` 是图概念的扩展，允许超边连接两个以上的顶点。 以下是图相关概念的总结表格： | 概念 | 定义 | | ---- | ---- | | 集合 | 可区分对象的组合 | | 子集 | 集合中部分元素的选择 | | 笛卡尔积 | 集合元素组合成的元组集合 | | 关系 | 笛卡尔积的子集 | | 函数 | 满足特定条件的关系 | | 图 | 由顶点集和边集组成 | | 无向图 | 边无方向的图 | | 有向图 | 边有方向的图 | | 子图 | 顶点和边是原图子集的图 | | 路径 | 图中顶点的序列 | | 环 | 特殊的路径 | | 无环图 | 没有环的图 | | 连通图 | 任意两顶点有路径相连的图 | | 顶点度 | 与顶点相邻边的数量 | | 有向无环图（DAG） | 没有有向环的有向图 | | 链 | 弧构成有向路径的 DAG | | 入树 | 特定出度结构的连通 DAG | | 出树 | 特定入度结构的连通 DAG | | 出森林（入森林） | 不相连的出树（入树）集合 | | 超图 | 超边可连接多个顶点的图 | ##### 2.2 复杂度问题 许多组合问题存在组合爆炸现象，即分析可能情况的数量呈指数级或更快增长，这给算法设计带来了挑战。复杂度分析可以帮助我们确定问题所属的计算复杂度类别，并为解决不同类别的问题提供方向。 - **问题和实例**：问题是一般性的描述，而实例是问题中所有变量都被赋予特定值的具体情况。例如，旅行商问题（TSP）是一个问题，给定特定的图和城市，求最短回路则是该问题的一个实例。 - **决策问题和优化问题**：决策问题只需回答“是”或“否”，优化问题则需要对目标函数进行极值化。每个优化问题都有其决策版本，决策版本的计算复杂度不高于原优化问题，因此可以通过分析决策版本来评估优化问题的复杂度。 - **复杂度度量**：为了对问题的计算复杂度进行分类，我们需要两个可靠的度量